3. Suma numerelor întregi negative din intervalul [−3; 7) este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Intervalul [−3; 7) conține numerele de la −3 (inclusiv) până la 7 (exclus).
Pasul 2. Numerele întregi negative din el sunt −3, −2, −1 (0 nu este negativ).
Pasul 3. Suma lor: (−3) + (−2) + (−1) = −6.
Pasul 4. Răspuns corect: c) −6.
5pExercițiul 4
4. Șase caiete tip dictando și cinci caiete de matematică costă 15 lei, iar șase caiete tip dictando și două caiete de matematică costă 11,4 lei. Prețul unui caiet de matematică este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm cu d prețul unui caiet dictando și cu m prețul unui caiet de matematică: 6d + 5m = 15 și 6d + 2m = 11,4.
Pasul 2. Scădem a doua egalitate din prima (6d se reduce): 5m − 2m = 15 − 11,4, adică 3m = 3,6.
Pasul 3. Atunci m = 3,6 : 3 = 1,2 lei.
Pasul 4. Verificare: 6d = 15 − 5 · 1,2 = 9, deci d = 1,5 lei; apoi 9 + 2 · 1,2 = 11,4 ✓.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 1,2 lei.
5pExercițiul 5
5. Se consideră numărul real a = (2√2 + 3) · (2√2 − 3). Patru elevi, Alina, Bogdan, Costel și Diana, au calculat valoarea numărului a. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Alina
Bogdan
Costel
Diana
0
−1
1
2025
Dintre cei patru elevi, cel care a obținut rezultatul corect a fost:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Folosim formula (x + y)(x − y) = x2 − y2, cu x = 2√2 și y = 3.
Pasul 2.x2 = (2√2)2 = 4 · 2 = 8 și y2 = 9.
Pasul 3.a = 8 − 9 = −1.
Pasul 4. Rezultatul −1 a fost obținut de Bogdan.
Pasul 5. Răspuns corect: b) Bogdan.
5pExercițiul 6
6. Un telefon mobil costa în luna august 2400 lei. În luna septembrie telefonul s-a scumpit cu 20%, dar în luna decembrie, fiind luna cadourilor, acest telefon s-a ieftinit cu 20%. Mihai afirmă că: „În luna decembrie telefonul are același preț ca și în luna august.” Această afirmație a lui Mihai este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Scumpirea cu 20%: 20% din 2400 = 480 lei, deci prețul în septembrie este 2400 + 480 = 2880 lei.
Pasul 2. Ieftinirea cu 20% se face față de noul preț (2880): 20% din 2880 = 576 lei.
Pasul 3. Prețul în decembrie: 2880 − 576 = 2304 lei (sau 2400 · 1,2 · 0,8 = 2400 · 0,96 = 2304).
Pasul 4. Cum 2304 ≠ 2400, afirmația lui Mihai este falsă (procentele se calculează față de baze diferite).
Pasul 5. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura de mai jos sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C și D, în această ordine, astfel încât AC = 6 cm și BD = 10 cm. Punctul B este mijlocul segmentului AC. Lungimea segmentului CD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.B este mijlocul lui AC, deci AB = BC = 6 : 2 = 3 cm.
Pasul 2. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci BD = BC + CD.
Pasul 3. Atunci CD = BD − BC = 10 − 3 = 7 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: d) 7 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată dreptele a și b sunt paralele. Valoarea lui x este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm cu X vârful unghiului x. Ducem prin X o paralelă d la dreptele a și b; ea împarte unghiul x în două unghiuri.
Pasul 2. Unghiul de 40° (dintre dreapta a și segmentul din stânga-sus) este altern intern cu unghiul format de același segment cu paralela d: acesta are 40°.
Pasul 3. La fel, unghiul de 20° (dintre dreapta b și celălalt segment) este altern intern cu unghiul format de acel segment cu paralela d: acesta are 20°.
Pasul 4. Deci x = 40° + 20° = 60°.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 60°.
5pExercițiul 3
3. Figura alăturată reprezintă schița unui traseu turistic. Punctele A, B și C marchează poziția a trei cabane. Triunghiul ABC este dreptunghic cu măsura unghiului A de 90°. Zona este străbătută de o șosea care este reprezentată de dreapta AM, unde punctul M este mijlocul laturii BC. Dacă măsura unghiului ABC este de 60° și AC = 4 km, atunci distanța de la cabana C la șoseaua AM este de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul dreptunghic ABC: ∡C = 90° − 60° = 30°, deci AB = BC : 2. Din teorema lui Pitagora: BC2 = AB2 + 16, adică 4AB2 = AB2 + 16, deci AB2 = 163 și AB = 4√3 km.
Pasul 2.AM este mediană din unghiul drept, deci AM = BC : 2 = AB = 4√3 km.
Pasul 3. Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale: aria AMC = ½ · aria ABC = ½ · ½ · AB · AC = ¼ · (4√3) · 4 = 4√3 km2.
Pasul 4. Distanța d de la C la dreapta AM este înălțimea din C în triunghiul AMC: aria = ½ · AM · d, deci d = (2 · aria) : AM = (2 · 4√3) : (4√3) = 2 km.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 2 km.
5pExercițiul 4
4. Figura alăturată reprezintă schița unei grădini având forma unui romb ABCD cu AB = 100 m și unghiul ABC cu măsura de 60°. Pe suprafața delimitată de patrulaterul MNPQ, ale cărui vârfuri sunt mijloacele laturilor rombului dat, sunt cultivate flori, iar restul suprafeței grădinii este acoperit cu gazon. Aria suprafeței grădinii acoperite de gazon este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABC are BA = BC = 100 m și ∡B = 60°, deci este echilateral: diagonala AC = 100 m.
Pasul 4. Dreptunghiul MNPQ (vârfurile sunt mijloacele laturilor) are laturile egale cu jumătățile diagonalelor: 50 m și 50√3 m, deci aria lui este 50 · 50√3 = 2500√3 m2 — adică jumătate din aria rombului.
5. În figura alăturată este reprezentat un pătrat ABCD, din carton, cu AB = 10 cm. Din acest pătrat se decupează un disc de arie maximă, mărginit de cercul C. Știind că M și N sunt punctele de intersecție dintre AC și cercul C, lungimea segmentului AM este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Discul de arie maximă din pătrat este cercul înscris în pătrat: diametrul lui este latura pătratului, deci raza este 10 : 2 = 5 cm. Centrul O al cercului este centrul pătratului.
Pasul 2. Diagonala pătratului: AC = 10√2 cm, deci AO = AC : 2 = 5√2 cm.
Pasul 3. Punctul M se află pe segmentul AO, iar OM este rază: OM = 5 cm.
Pasul 4.AM = AO − OM = 5√2 − 5 = 5(√2 − 1) cm.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 5(√2 − 1) cm.
5pExercițiul 6
6. Se dă cubul ABCDA′B′C′D′. Unghiul format de dreptele BC′ și DD′ are măsura egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Muchiile DD′ și CC′ sunt paralele (muchii laterale ale cubului), deci unghiul dreptelor BC′ și DD′ este egal cu unghiul dreptelor BC′ și CC′, adică unghiul BC′C.
Pasul 2. Fața BCC′B′ este un pătrat, iar BC′ este diagonala lui. Triunghiul BCC′ este dreptunghic isoscel în C (BC = CC′ = muchia cubului).
Pasul 3. Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic isoscel au câte 45°, deci ∡BC′C = 45°.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 45°.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La simulare, ca și la Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
