6. Dacă numerele reale a și b sunt direct proporționale cu 2 și 3, iar a + b = 20, atunci egalitatea a + 2b = 30 este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Numerele sunt direct proporționale cu 2 și 3: a2 = b3 = k, deci a = 2k și b = 3k.
Pasul 2. Din a + b = 20 obținem 2k + 3k = 20, adică 5k = 20, deci k = 4.
Pasul 3. Atunci a = 8 și b = 12.
Pasul 4. Calculăm a + 2b = 8 + 24 = 32, iar 32 ≠ 30.
Pasul 5. Egalitatea este falsă.
Pasul 6. Răspuns corect: b) Falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată punctele A, B și C sunt coliniare, iar M și N sunt mijloacele segmentelor AB și AC. Dacă AB = 4 cm și BC = 2 cm, atunci lungimea segmentului MN este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din figură, punctele sunt în ordinea A, B, C (B se află între A și C), deci AC = AB + BC = 4 + 2 = 6 cm.
Pasul 2. M este mijlocul lui AB: AM = 4 : 2 = 2 cm.
Pasul 3. N este mijlocul lui AC: AN = 6 : 2 = 3 cm.
Pasul 4. M și N sunt pe semidreapta AC, deci MN = AN − AM = 3 − 2 = 1 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 1 cm.
5pExercițiul 2
2. Unghiurile AOB și COD din figura alăturată sunt opuse la vârf. Semidreapta OE este bisectoarea unghiului AOC, iar semidreapta OF este semidreapta opusă semidreptei OE. Dacă ∡COD = 40°, atunci măsura unghiului AOF este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctele A, O, D sunt coliniare, la fel B, O, C. Unghiurile AOC și COD sunt adiacente suplimentare: ∡AOC = 180° − 40° = 140°.
Pasul 2. OE este bisectoarea lui ∡AOC, deci ∡AOE = 140° : 2 = 70°.
Pasul 3. Semidreptele OE și OF sunt opuse, deci unghiurile AOE și AOF sunt adiacente suplimentare: ∡AOF = 180° − ∡AOE = 180° − 70° = 110°.
Pasul 4. Răspuns corect: d) 110°.
5pExercițiul 3
3. Fie triunghiul ABC în care ∡A = 60°, iar ∡B = ∡B + ∡C2. Dacă BC = 2 cm, atunci perimetrul triunghiului ABC este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din ∡B = ∡B + ∡C2 rezultă 2 · ∡B = ∡B + ∡C, deci ∡B = ∡C.
Pasul 3. Toate unghiurile au 60°, deci triunghiul ABC este echilateral: AB = AC = BC = 2 cm.
Pasul 4. Perimetrul: P = 3 · 2 = 6 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 6 cm.
5pExercițiul 4
4. Se consideră triunghiul ABC (∡A = 90°) și BC = 6 cm. Dacă G este centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci lungimea segmentului AG este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Fie M mijlocul ipotenuzei BC. Mediana AM a triunghiului dreptunghic corespunzătoare ipotenuzei are lungimea jumătate din ipotenuză: AM = 6 : 2 = 3 cm.
Pasul 2. Centrul de greutate G se află pe mediana AM, la două treimi de vârf: AG = 23 · AM.
Pasul 3. AG = 23 · 3 = 2 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: a) 2 cm.
5pExercițiul 5
5. Fie AB diametru în cercul de centru O și rază 10 cm și CD ⊥ AB. Dacă AC = 10√3 cm, atunci aria triunghiului ADC este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. AB = 2 · 10 = 20 cm. Fie H punctul în care CD intersectează AB; CD ⊥ AB, deci CH este înălțime în triunghiul ACB.
Pasul 2. Triunghiul ACB este dreptunghic în C (C este pe cerc, AB diametru). Cateta: AC2 = AH · AB ⇒ 300 = AH · 20 ⇒ AH = 15 cm.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
