Pasul 2. Cum 36 < 45 < 49, avem 6 < √45 < 7, deci 6 < 3√5 < 7.
Pasul 3. Înmulțind cu −1 se schimbă sensul inegalităților: −7 < −3√5 < −6 (−3√5 ≈ −6,71).
Pasul 4. Întregii mai mici decât −3√5 sunt −7, −8, −9, …; cel mai mare dintre ei este −7.
Pasul 5. Răspuns corect: d) −7.
5pExercițiul 4
4. Scrisă sub formă de interval, mulțimea A = {x ∈ ℝ | −1 < 3 − 2x ≤ 5} este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Scădem 3 din toți membrii inegalității: −1 − 3 < −2x ≤ 5 − 3, adică −4 < −2x ≤ 2.
Pasul 2. Împărțim la −2; deoarece −2 este negativ, sensul inegalităților se schimbă: 2 > x ≥ −1.
Pasul 3. Deci −1 ≤ x < 2, adică x ∈ [−1; 2).
Pasul 4. (Verificare: x = −1 ⇒ 3 + 2 = 5 ≤ 5 (se acceptă); x = 2 ⇒ 3 − 4 = −1, dar −1 < −1 este fals (se exclude).)
Pasul 5. Răspuns corect: d) [−1; 2).
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Dan, Marius, Ion, George, au calculat media geometrică a numerelor a = 6 − 2√5 și b = 6 + 2√5. Conform indicațiilor din tabel, dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este:
Dan
+4
Marius
0
Ion
+6
George
+16
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Media geometrică a numerelor pozitive a și b este √a · b.
Pasul 3. Rezultatul este exact 4, deci afirmația este adevărată.
Pasul 4. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura următoare se dă segmentul AB = 10 cm. Dacă M este mijlocul lui AB iar C este simetricul lui M față de B, atunci lungimea segmentului AC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. M este mijlocul lui AB, deci AM = MB = 10 : 2 = 5 cm.
Pasul 2. C este simetricul lui M față de B, deci B este mijlocul segmentului MC: BC = MB = 5 cm, iar C se află pe dreapta AB, de cealaltă parte a lui B față de M.
Pasul 3. Punctele sunt în ordinea A, M, B, C, deci AC = AB + BC = 10 + 5 = 15 cm.
Pasul 4. (Altfel: AC = AM + MC = 5 + 2 · 5 = 15 cm.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) 15 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, dreptele a și b sunt paralele. Valoarea lui x este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm cu Q punctul în care segmentul din dreapta intersectează dreapta a și cu P punctul de pe dreapta b în care se întâlnesc cele două segmente.
Pasul 2. Unghiul de 117° din Q și unghiul dintre QP și dreapta a (în partea stângă) sunt suplimentare: 180° − 117° = 63°.
Pasul 3. Cum a ∥ b, aceste 63° sunt alterne interne cu unghiul format în P de PQ cu dreapta b (în partea dreaptă): acesta măsoară tot 63°.
Pasul 4. În P, pe dreapta b (unghi alungit de 180°) se află trei unghiuri alăturate: 63°, x și 50°.
Pasul 5. Deci x = 180° − 63° − 50° = 67°.
Pasul 6. Răspuns corect: a) 67°.
5pExercițiul 3
3. Figura alăturată reprezintă schema unui loc de joacă, sub forma unui triunghi ABC, dreptunghic în A. Dacă AC = 20 m și unghiul C este dublul unghiului B, atunci perimetrul locului de joacă este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul dreptunghic ABC: ∡B + ∡C = 90° și ∡C = 2 · ∡B, deci 3 · ∡B = 90°, ∡B = 30°, ∡C = 60°.
Pasul 2. Cateta AC este opusă unghiului de 30°, deci AC = BC : 2, de unde BC = 2 · 20 = 40 m.
Pasul 3. Pitagora în triunghiul ABC: AB2 = BC2 − AC2 = 1600 − 400 = 1200, deci AB = √1200 = 20√3 m.
Pasul 4. Perimetrul = AB + BC + AC = 20√3 + 40 + 20 = (60 + 20√3) m.
Pasul 5. Răspuns corect: a) (60 + 20√3) m.
5pExercițiul 4
4. În figura următoare este reprezentat un depozit format din pătratul ABCD și triunghiul dreptunghic isoscel ABE cu ∡E = 90° și AE = 6 m. Suprafața depozitului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABE este dreptunghic isoscel în E, deci EB = AE = 6 m.
Pasul 2. AB este ipotenuză: AB2 = 62 + 62 = 72, deci AB = 6√2 m.
5. În figura alăturată se dă cercul de centru O și raza de 10 cm, cu punctele A, B, C situate pe cerc, și măsura arcului mic AB = 120°. Dacă punctele C, B sunt diametral opuse, atunci distanța dintre punctele A și B este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. C și B sunt diametral opuse, deci BC este diametru: BC = 2 · 10 = 20 cm.
Pasul 2. ∡BAC este înscris într-un semicerc, deci ∡BAC = 90° și triunghiul ABC este dreptunghic în A.
Pasul 3. ∡ACB este unghi înscris care subîntinde arcul mic AB de 120°, deci ∡ACB = 120° : 2 = 60°.
Pasul 4. AB este cateta opusă unghiului de 60°: AB = BC · sin 60° = 20 · √32 = 10√3 cm.
Pasul 5. (Verificare: în triunghiul isoscel AOB, ∡AOB = 120° și OA = OB = 10; AB2 = 100 + 100 − 2 · 10 · 10 · cos 120° = 200 + 100 = 300, AB = 10√3 cm.)
Pasul 6. Răspuns corect: c) 10√3 cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat un cub ABCDA′B′C′D′. Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului este egală cu 120 cm. Aria unei fețe a cubului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Cubul are 12 muchii egale. Dacă muchia are lungimea l, atunci 12 · l = 120, deci l = 10 cm.
Pasul 2. O față este un pătrat cu latura 10 cm, deci aria unei fețe este 102 = 100 cm2.
Pasul 3. (Varianta d) este în cm3, adică este o unitate de volum, nu de arie; 1000 cm3 este volumul cubului.)
Pasul 4. Răspuns corect: a) 100 cm2.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
