Pasul 1. Perioada numărului este 4263 (patru cifre), care se repetă după virgulă: 2,4263 4263 4263…
Pasul 2. Zecimala de rang n depinde de restul împărțirii lui n la 4: rest 1 → 4, rest 2 → 2, rest 3 → 6, rest 0 → 3.
Pasul 3. Împărțirea euclidiană este 2025 = 4 · 506 + 1; câtul este 506, iar restul este 1.
Pasul 4. Deci a 2025-a zecimală este prima cifră a perioadei, adică 4.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 4.
5pExercițiul 3
3. Se consideră numărul natural n = 2x3y divizibil cu 12. Pentru cea mai mare valoare posibilă a lui n, suma x + y este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Un număr este divizibil cu 12 dacă este divizibil cu 4 și cu 3.
Pasul 2. Divizibil cu 4: ultimele două cifre, „3y”, formează un număr divizibil cu 4. Dintre 30, 31, …, 39 doar 32 și 36 se împart exact la 4, deci y ∈ {2, 6}.
Pasul 3. Divizibil cu 3: suma cifrelor 2 + x + 3 + y se împarte la 3. Pentru y = 6: 11 + x → x ∈ {1, 4, 7}, cel mai mare număr este 2736. Pentru y = 2: 7 + x → x ∈ {2, 5, 8}, cel mai mare număr este 2832.
Pasul 4. Cel mai mare număr este 2832 (2832 : 12 = 236 ✓). Pentru el x = 8 și y = 2.
Pasul 2. Mutăm termenii cu x în dreapta și numerele în stânga: 6 ≤ 3x − 2x, adică 6 ≤ x.
Pasul 3. Deci x ≥ 6, adică x ∈ [6; +∞).
Pasul 4. Verificare: pentru x = 6: 2 · 9 = 18 ≤ 18 ✓; pentru x = 0: 6 ≤ 0 ✗.
Pasul 5. Răspuns corect: d) [6; +∞).
5pExercițiul 6
6. Maria afirmă: „Dacă două treimi dintr-un număr este 40, atunci numărul este 60.” Afirmația Mariei este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm numărul cu n: 23 · n = 40.
Pasul 2.n = 40 : 23 = 40 · 32 = 60.
Pasul 3. Verificare: două treimi din 60 este 60 : 3 · 2 = 40 ✓.
Pasul 4. Afirmația este adevărată.
Pasul 5. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele A, B, C, D, astfel încât AB = 4 cm și BC = CD = 8 cm. Dacă punctul M este mijlocul segmentului AD, atunci lungimea segmentului BM este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctele sunt coliniare în ordinea A, B, C, D: AD = AB + BC + CD = 4 + 8 + 8 = 20 cm.
Pasul 2.M este mijlocul lui AD: AM = 20 : 2 = 10 cm.
Pasul 3.B și M sunt pe segmentul AM cu AB < AM, deci BM = AM − AB = 10 − 4 = 6 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: a) 6 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile ∡AOB, ∡BOC, ∡COD și ∡DOA formate în jurul punctului O. Știind că ∡AOB = x°, ∡BOC = (x + 14)°, ∡COD = (2x + 1)° și ∡DOA = (3x − 5)°, atunci măsura unghiului ∡COA este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiurile din jurul punctului O au suma 360°: x + (x + 14) + (2x + 1) + (3x − 5) = 360.
Pasul 2. Adunăm: 7x + 10 = 360, deci 7x = 350 și x = 50.
Pasul 3. Atunci ∡AOB = 50° și ∡BOC = 50 + 14 = 64°.
Pasul 4. Raza OB este între OA și OC (vezi figura), deci ∡COA = ∡AOB + ∡BOC = 50° + 64° = 114°.
Pasul 5. (Cealaltă parte: ∡COD + ∡DOA = 101° + 145° = 246°, iar 114° + 246° = 360° ✓; unghiul COA este cel mai mic, de 114°.)
Pasul 6. Răspuns corect: d) 114°.
5pExercițiul 3
3. În triunghiul ABC din figura alăturată lungimea laturii AC este de 10 cm, iar măsurile unghiurilor A și B sunt egale cu 75°, respectiv 60°. Se notează cu D piciorul perpendicularei duse din punctul A pe latura BC. Lungimea segmentului AD este egală cu:
4. În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD. Știind că punctul M este mijlocul segmentului AB, punctul N este mijlocul segmentului MC, valoarea raportului dintre aria triunghiului DMN și aria dreptunghiului ABCD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm AB = a și BC = b; aria dreptunghiului este S = ab.
Pasul 2. Triunghiul DMC are baza DC = a și înălțimea b (distanța dintre dreptele paralele AB și DC): aria DMC = ab2 = S2.
Pasul 3.N este mijlocul lui MC, deci mediana DN împarte triunghiul DMC în două triunghiuri cu arii egale: aria DMN = 12 · aria DMC = S4.
5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și rază r = 12 cm. Se consideră punctele A și B aparținând cercului astfel încât AB = 12√3 cm. Măsura unghiului ∡OAB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul OAB este isoscel: OA = OB = 12 cm (raze). Fie M mijlocul lui AB; atunci OM ⊥ AB și AM = 6√3 cm.
Pasul 2. În triunghiul dreptunghic OMA: cos ∡OAB = AMOA = 6√312 = √32, deci ∡OAB = 30°.
Pasul 3. Altfel, fără cosinus: OM2 = 122 − (6√3)2 = 144 − 108 = 36, deci OM = 6 = OA : 2. Cateta OM este jumătate din ipotenuza OA, deci unghiul opus ei, ∡OAB, are 30°.
Pasul 4. Răspuns corect: a) 30°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat cubul ALGEBRIC având lungimea muchiei egală cu 6 cm. Aria triunghiului ARG este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din figură: ALGE este fața de jos, BRIC fața de sus, iar R se află deasupra lui L.
Pasul 2.AG este diagonala bazei (pătrat cu latura 6): AG = 6√2 cm.
Pasul 3.AR este diagonala feței ALRB: AR = 6√2 cm. RG este diagonala feței LGIR: RG = 6√2 cm.
Pasul 4. Triunghiul ARG are toate laturile egale (6√2 cm), deci este echilateral.
Pasul 5. Aria unui triunghi echilateral de latură l este l2√34: aria = (6√2)2√34 = 72√34 = 18√3 cm2.
Pasul 6. Răspuns corect: c) 18√3 cm2.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
