Evaluarea Națională · Clasa a VIII‑a · Varianta 2Anul școlar 2020 – 2021 · Ministerul Educației · Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație · Matematică
Punctaj: 0 / 60Corecte: 0 / 12 · Răspunse: 0 / 12
SUBIECTUL I
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. Cel mai mare număr natural de două cifre, multiplu al numărului 20, este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Multiplii lui 20 sunt: 0, 20, 40, 60, 80, 100, …
Pasul 2. Numărul trebuie să aibă exact două cifre, deci să fie cel mult 99. Multiplii lui 20 care au două cifre sunt 20, 40, 60 și 80.
Pasul 3. 100 are trei cifre, iar 99 nu este multiplu al lui 20 (99 : 20 nu este împărțire exactă). Cel mai mare este 80.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 80.
5pExercițiul 2
2. Dacă x4 = 52, atunci x este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: x · 2 = 4 · 5.
Pasul 2. 2x = 20, deci x = 20 : 2 = 10.
Pasul 3. Verificare: 104 = 52 (simplificăm cu 2) ✓.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 10.
5pExercițiul 3
3. Rezultatul calculului 8 + 2 · 4 este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Ordinea operațiilor: mai întâi înmulțirea, apoi adunarea.
Pasul 2. 2 · 4 = 8.
Pasul 3. 8 + 8 = 16.
Pasul 4. Atenție: (8 + 2) · 4 = 40 ar fi greșit, deoarece nu există paranteze.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 16.
5pExercițiul 4
4. Într-o școală, 400 de elevi au ales culoarea favorită, prin intermediul unui chestionar. Opțiunile tuturor elevilor au fost înregistrate, în raport procentual din numărul total, în tabelul de mai jos.
Culoarea aleasă
Raport procentual
albastru
25%
roșu
35%
galben
14%
verde
x%
altele
20%
Conform informațiilor din tabel, numărul elevilor care au ales culoarea verde este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Toți elevii au ales câte o culoare, deci procentele însumează 100%: 25 + 35 + 14 + x + 20 = 100.
Pasul 2. 94 + x = 100 ⇒ x = 6, adică 6% dintre elevi au ales verde.
Pasul 3. Numărul elevilor: 6% din 400 = 6100 · 400 = 6 · 4 = 24.
Pasul 4. Atenție: 6 este procentul (valoarea lui x), nu numărul elevilor.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 24.
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Alina, Bianca, George și Iosif, adună numărul a = 3 + 5√2 cu numărul b = 5 − 5√2 și obțin următoarele rezultate:
Alina
8 − 10√2
Bianca
4
George
8
Iosif
8 + 10√2
Dintre cei patru elevi, cel care a efectuat corect adunarea este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Calculăm suma: a + b = (3 + 5√2) + (5 − 5√2).
Pasul 3. Intervalul I = (3, 4] conține numerele mai mari decât 3 și mai mici sau egale cu 4. Cum 3√2 > 4, numărul nu aparține lui I.
Pasul 4. Afirmația lui Mircea este falsă.
Pasul 5. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C și D, în această ordine, astfel încât AC = 4 cm și BD = 8 cm. Punctul B este mijlocul segmentului AC. Lungimea segmentului CD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. B este mijlocul lui AC, deci AB = BC = 4 : 2 = 2 cm.
Pasul 2. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci C se află între B și D: BD = BC + CD.
Pasul 3. CD = BD − BC = 8 − 2 = 6 cm.
Pasul 4. Verificare: AD = AC + CD = 4 + 6 = 10 cm și BD = AD − AB = 10 − 2 = 8 cm ✓.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 6 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, cu măsura unghiului B de 45°. Punctele A, C și D sunt coliniare, în această ordine. Dreptele EC și AB sunt paralele și măsura unghiului ECD este egală cu 135°. Măsura unghiului ACB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctele A, C, D sunt coliniare, deci unghiurile ∡ECA și ∡ECD sunt adiacente suplimentare: ∡ECA = 180° − 135° = 45°.
Pasul 2. Dreptele EC și AB sunt paralele, iar AC este secantă. Unghiurile ∡ECA și ∡CAB sunt alterne interne, deci ∡CAB = ∡ECA = 45°.
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC. Măsura unghiului BAC este egală cu 120° și AC = 6 cm. Lungimea laturii BC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Un triunghi isoscel nu poate avea două unghiuri obtuze, deci unghiul de 120° este unghiul de la vârf: AB = AC = 6 cm.
Pasul 2. Ducem înălțimea AM, cu M ∈ BC. În triunghiul isoscel ea este și mediană și bisectoare: ∡BAM = 120° : 2 = 60° și BM = MC.
Pasul 3. În triunghiul dreptunghic ABM (cu ∡M = 90°) avem ∡B = 90° − 60° = 30°, iar cateta AM se opune unghiului de 30°, deci AM = AB2 = 3 cm.
Pasul 4. Pitagora în ΔABM: BM2 = AB2 − AM2 = 36 − 9 = 27, deci BM = √27 = 3√3 cm.
Pasul 5. BC = 2 · BM = 2 · 3√3 = 6√3 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: d) 6√3 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu AD = 3 cm, în care punctul E se află pe latura DC astfel încât AE este bisectoarea unghiului DAB și BE este bisectoarea unghiului ABC. Perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. AB ∥ DC, deci ∡DEA = ∡EAB (unghiuri alterne interne). Cum AE este bisectoare, ∡EAB = ∡DAE. Rezultă ∡DEA = ∡DAE.
Pasul 2. Triunghiul ADE are două unghiuri congruente, deci este isoscel: DE = AD = 3 cm.
Pasul 3. Analog, ∡CEB = ∡EBA (alterne interne) și ∡EBA = ∡EBC (BE este bisectoare), deci triunghiul BCE este isoscel: CE = BC = AD = 3 cm.
Pasul 4. DC = DE + EC = 3 + 3 = 6 cm și AB = DC = 6 cm (laturi opuse în paralelogram).
Pasul 5. Perimetrul: P = 2 · (AB + AD) = 2 · (6 + 3) = 18 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: a) 18 cm.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată, punctele A, B și C sunt situate pe cercul de centru O, astfel încât arcele mici AB, BC și CA sunt congruente. Măsura unghiului BOC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Cele trei arce AB, BC și CA sunt congruente și împreună formează întregul cerc, de 360°.
Pasul 2. Fiecare arc are 360° : 3 = 120°.
Pasul 3. Unghiul la centru are aceeași măsură ca arcul pe care îl subîntinde: ∡BOC = arcul BC = 120°.
Pasul 4. Răspuns corect: a) 120°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat un cub ABCDA′B′C′D′. Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului este egală cu 120 cm. Aria totală a cubului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Cubul are 12 muchii egale. Notăm cu l lungimea unei muchii: 12 · l = 120 cm, deci l = 10 cm.
Pasul 2. Cubul are 6 fețe, fiecare un pătrat de latură 10 cm, cu aria 102 = 100 cm2.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.