Pasul 4. (Atenție: 139 ar fi numărul periodic 1,(4), iar 43 = 1,(3) – număr periodic, nu 1,3.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) 1310.
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Ana, George, Radu și Elena, au calculat produsul numerelor x = 2√2 și y = 12√2, iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Ana
George
Radu
Elena
4√2
√2
1
8
Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Numerele x = 2√2 și y = 12√2 sunt inverse unul altuia (y = 1 : x).
Pasul 2. Produsul: x · y = 2√2 · 12√2 = 2√22√2 = 1.
Pasul 3. Rezultatul 1 a fost obținut de Radu.
Pasul 4. Răspuns corect: c) Radu.
5pExercițiul 6
6. Andrei are 28 de ani, iar Cătălina are 13 ani. Andrei afirmă: „Peste doi ani voi avea dublul vârstei pe care o va avea Cătălina.”. Afirmația lui Andrei este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Peste doi ani, Andrei va avea 28 + 2 = 30 de ani.
Pasul 2. Peste doi ani, Cătălina va avea 13 + 2 = 15 ani.
Pasul 3. Dublul vârstei Cătălinei: 2 · 15 = 30 de ani, adică exact vârsta lui Andrei.
Pasul 4. Afirmația lui Andrei este adevărată.
Pasul 5. (Atenție: „dublul vârstei” se referă la vârstele de peste doi ani, nu la cele de acum: 2 · 13 = 26 ≠ 28.)
Pasul 6. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată este reprezentat segmentul AB cu lungimea de 10 cm. Punctul A este mijlocul segmentului CB, iar punctul B este mijlocul segmentului CD. Lungimea segmentului CD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. A este mijlocul segmentului CB, deci CA = AB = 10 cm și CB = 2 · 10 = 20 cm.
Pasul 2. B este mijlocul segmentului CD, deci CD = 2 · CB.
Pasul 3. CD = 2 · 20 = 40 cm.
Pasul 4. (Verificare: C, A, B, D sunt în această ordine, CA = AB = 10 cm și BD = CB = 20 cm; CD = 10 + 10 + 20 = 40 cm.)
Pasul 5. Răspuns corect: d) 40 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf AOC și BOD. Măsura unghiului AOC este egală cu 60°. Măsura unghiului BOD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Dreptele AD și BC se intersectează în O. Unghiurile AOC și BOD sunt opuse la vârf (laturile lor sunt semidrepte opuse).
Pasul 2. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.
Pasul 3. Deci ∡BOD = ∡AOC = 60°.
Pasul 4. (Verificare: ∡AOB = 180° − 60° = 120°, iar unghiurile AOB și COD sunt și ele congruente, fiecare de 120°.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) 60°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD cu AB = BD = 12 cm. Punctul M este mijlocul segmentului CD și dreapta BM intersectează dreapta AC în punctul G. Lungimea segmentului AG este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Într-un romb toate laturile sunt egale: AB = BC = CD = DA = 12 cm. Cum și BD = 12 cm, triunghiurile ABD și CBD sunt echilaterale.
Pasul 2. Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc în O. AO este înălțime în triunghiul echilateral ABD: AO = 12√32 = 6√3 cm, deci AC = 12√3 cm.
Pasul 3. În triunghiul BCD, BM și CO sunt mediane (M mijlocul lui CD, O mijlocul lui BD) și se intersectează în G, deci G este centrul de greutate al triunghiului BCD.
Pasul 4. Centrul de greutate se află la o treime de latura pe care cade mediana: OG = 13 · OC = 13 · 6√3 = 2√3 cm.
Pasul 5. AG = AO + OG = 6√3 + 2√3 = 8√3 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: d) 8√3 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat trapezul ABCD cu bazele AB și CD, în care măsura unghiului BAD este egală cu 90°, AD = DC = 5 cm și AB = 10 cm. Măsura unghiului ABC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Ducem CE ⊥ AB, cu E pe AB. Patrulaterul AECD are trei unghiuri drepte (A, E și D), deci este dreptunghi.
Pasul 2. Atunci AE = DC = 5 cm și CE = AD = 5 cm.
Pasul 3. EB = AB − AE = 10 − 5 = 5 cm.
Pasul 4. Triunghiul CEB este dreptunghic în E, cu CE = EB = 5 cm, deci este dreptunghic isoscel și ∡ABC = ∡EBC = 45°.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 45°.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și diametru BC = 10 cm. Punctul A aparține cercului astfel încât măsura arcului mic AC este de 120°. Lungimea segmentului AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. BC este diametru, deci semicercul BC are 180°. Arcul AB = 180° − 120° = 60°.
Pasul 2. Unghiul la centru ∡AOB are măsura arcului AB: 60°. Cum OA = OB = 5 cm (raze), triunghiul AOB este isoscel cu un unghi de 60°, deci este echilateral.
Pasul 3. Atunci AB = OA = OB = 5 cm.
Pasul 4. (Altfel: ∡BAC = 90° (unghi înscris în semicerc), ∡ACB = 60° : 2 = 30° (subîntinde arcul AB de 60°); în triunghiul dreptunghic ABC, AB este cateta opusă unghiului de 30°, deci AB = BC : 2 = 5 cm.)
Pasul 5. Răspuns corect: a) 5 cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH cu AB = 4 cm, BC = 3 cm și AE = 12 cm. Lungimea diagonalei AG a paralelipipedului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Dimensiunile paralelipipedului sunt L = 4 cm, l = 3 cm și h = 12 cm.
Pasul 2. Diagonala bazei: AC2 = AB2 + BC2 = 16 + 9 = 25 ⇒ AC = 5 cm.
Pasul 3. Triunghiul ACG este dreptunghic în C (CG ⊥ planul bazei), cu AC = 5 cm și CG = AE = 12 cm.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.