Pasul 4. Verificare: 20% din 250 = 50, iar 250 + 50 = 300 ✓. (360 s-ar obține greșit adăugând 20% la 300.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) 250 lei.
5pExercițiul 4
4. Dacă x + 1x = 3, atunci valoarea expresiei x2 + 1x2 este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Ridicăm egalitatea x + 1x = 3 la pătrat: (x + 1x)2 = 32 = 9.
Pasul 2. Folosim formula (a + b)2 = a2 + 2ab + b2: x2 + 2 · x · 1x + 1x2 = 9.
Pasul 3. Cum 2 · x · 1x = 2, obținem x2 + 1x2 + 2 = 9.
Pasul 4.x2 + 1x2 = 9 − 2 = 7.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 7.
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Anita, Bogdan, Paul și Sofia, au calculat media geometrică a numerelor a = 4 − 2√3 și b = 4 + 2√3. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Anita
Bogdan
Paul
Sofia
6
4
2
8
Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Numerele a și b sunt pozitive (2√3 ≈ 3,46 < 4), deci media geometrică este mg = √a · b.
Pasul 3. (2√3)2 = 4 · 3 = 12, deci a · b = 16 − 12 = 4.
Pasul 4. mg = √4 = 2.
Pasul 5. Valoarea 2 apare în tabel la Paul.
Pasul 6. Răspuns corect: c) Paul.
5pExercițiul 6
6. În diagrama de mai jos sunt prezentate rezultatele obținute de elevii unei clase la un test.
Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, 15 elevi au obținut note mai mici decât 7” este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Citim din diagramă numărul de elevi pentru fiecare notă: nota 4 – 2 elevi, nota 5 – 4 elevi, nota 6 – 5 elevi, nota 7 – 4 elevi, nota 8 – 3 elevi, nota 9 – 3 elevi, nota 10 – 2 elevi.
Pasul 2. „Note mai mici decât 7” înseamnă notele 4, 5 și 6 (nota 7 nu se numără).
Pasul 3. Numărul elevilor: 2 + 4 + 5 = 11.
Pasul 4. Cum 11 ≠ 15, afirmația este falsă. (15 elevi ar fi cu note cel mult 7: 2 + 4 + 5 + 4 = 15.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată punctele A, B, C sunt coliniare, în această ordine, punctul M este mijlocul segmentului AC, iar punctul N este mijlocul segmentului BC. Dacă AB = 6 cm și NC = 4 cm, atunci lungimea segmentului MN este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. N este mijlocul lui BC și NC = 4 cm, deci BC = 2 · 4 = 8 cm.
Pasul 2. Punctele A, B, C sunt în această ordine: AC = AB + BC = 6 + 8 = 14 cm.
Pasul 3. M este mijlocul lui AC: MC = 14 : 2 = 7 cm.
Pasul 4. Punctele M, N, C sunt în această ordine pe dreaptă (se vede și în figură), deci MN = MC − NC = 7 − 4 = 3 cm.
Pasul 5. (Cu coordonate: A = 0, B = 6, C = 14, M = 7, N = 10 ⇒ MN = 3.)
Pasul 6. Răspuns corect: d) 3 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată dreptele AB și CD sunt paralele, iar unghiurile MAB și MCD au măsurile de 120°, respectiv 135°. Măsura unghiului AMC este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Ducem prin M o paralelă la dreptele AB și CD. Ea împarte unghiul AMC în două unghiuri.
Pasul 2. Notăm cu d această paralelă (d ∥ AB ∥ CD). Unghiul dintre MA și d și unghiul MAB sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei AM, deci sunt suplimentare: 180° − 120° = 60°.
Pasul 3. La fel, unghiul dintre MC și d și unghiul MCD sunt suplimentare: 180° − 135° = 45°.
Pasul 4. ∡AMC = 60° + 45° = 105°.
Pasul 5. (Altfel: suma unghiurilor „în ramură” este 360° = ∡MAB + ∡MCD + (unghiul exterior al lui M): 120° + 135° + ∡AMC = 360° ⇒ ∡AMC = 105°.)
Pasul 6. Răspuns corect: b) 105°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată triunghiul ABC este dreptunghic în A, AC = 6 cm și înălțimea AD = 3 cm. Unghiul BAD are măsura egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Înălțimea AD este perpendiculară pe BC, deci triunghiul ADC este dreptunghic în D, cu ipotenuza AC = 6 cm și cateta AD = 3 cm.
Pasul 2. AD = AC2: cateta este jumătate din ipotenuză, deci unghiul opus ei, ∡ACD, are 30°.
Pasul 3. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, ∡B = 90° − 30° = 60°.
Pasul 4. În triunghiul ABD, dreptunghic în D: ∡BAD = 90° − ∡B = 90° − 60° = 30°.
Pasul 5. (Altfel: ∡BAD și ∡C sunt congruente, fiind complementele aceluiași unghi ∡B.)
Pasul 6. Răspuns corect: a) 30°.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată rombul ABCD are perimetrul egal cu 16 cm și unghiul ABC are măsura de 120°. Lungimea diagonalei BD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Rombul are patru laturi egale: AB = BC = CD = DA = 16 : 4 = 4 cm.
Pasul 2. Diagonala BD este bisectoarea unghiului B (într-un romb diagonalele sunt bisectoare): ∡ABD = 120° : 2 = 60°.
Pasul 3. Triunghiul ABD are AB = AD (laturi ale rombului) și ∡ABD = 60°, deci este isoscel cu un unghi de 60°, adică echilateral.
Pasul 4. Atunci BD = AB = 4 cm.
Pasul 5. (Verificare: unghiurile rombului sunt 120° în B și D și 60° în A și C. Triunghiul ABD are AB = AD și unghiul A = 60°, deci este echilateral, în concordanță cu BD = 4 cm.)
Pasul 6. Răspuns corect: b) 4 cm.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat un cerc cu diametrul AB perpendicular pe coarda CD în punctul M. Dacă raza cercului este de 6 cm, iar MB = 3 cm, atunci lungimea coardei BC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Raza este OB = 6 cm, deci diametrul AB = 12 cm. Cum MB = 3 cm, avem OM = OB − MB = 6 − 3 = 3 cm și AM = 12 − 3 = 9 cm.
Pasul 2. Triunghiul ACB este înscris într-un semicerc (AB este diametru), deci ∡ACB = 90°. CM este înălțimea din C pe ipotenuza AB.
Pasul 3. Teorema catetei în triunghiul ACB: BC2 = BM · BA = 3 · 12 = 36, deci BC = 6 cm.
Pasul 4. (Altfel: în triunghiul OCM, dreptunghic în M: CM2 = OC2 − OM2 = 36 − 9 = 27. Apoi în triunghiul CMB: BC2 = CM2 + MB2 = 27 + 9 = 36, deci BC = 6 cm. Observație: OB = OC = 6 și BC = 6, deci triunghiul OBC este echilateral.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) 6 cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată, ABCDA′B′C′D′ este un cub cu muchia de 12 cm. Aria triunghiului C′BD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Laturile triunghiului C′BD sunt diagonale ale unor fețe ale cubului: BD (baza ABCD), C′B (fața BCC′B′) și C′D (fața DCC′D′). Fiecare este diagonala unui pătrat de latură 12 cm, deci are lungimea 12√2 cm.
Pasul 2. Triunghiul C′BD are toate laturile egale cu 12√2 cm, deci este echilateral.
Pasul 3. Aria unui triunghi echilateral de latură l este l2√34. Aici l2 = (12√2)2 = 144 · 2 = 288.
Pasul 4. Aria = 288√34 = 72√3 cm2.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 72√3 cm2.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.