1. Rezultatul calculului 16 − 16 : 16 este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Respectăm ordinea operațiilor: mai întâi împărțirea, apoi scăderea.
- Pasul 2. Împărțirea: 16 : 16 = 1.
- Pasul 3. Scăderea: 16 − 1 = 15.
- Pasul 4. Răspuns corect: b) 15.
SUBIECTUL I
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
2. Dacă x2 = 3y, atunci rezultatul calculului 3xy − 6 este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Din proporția x2 = 3y (produsul mezilor este egal cu produsul extremilor): x · y = 2 · 3 = 6.
- Pasul 2. Înlocuim în expresie: 3xy − 6 = 3 · 6 − 6.
- Pasul 3. 3 · 6 − 6 = 18 − 6 = 12.
- Pasul 4. Răspuns corect: a) 12.
3. Suma numerelor întregi din intervalul (−11; 7] este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Intervalul (−11; 7] este deschis în −11 și închis în 7, deci numerele întregi din el sunt −10, −9, −8, …, 6, 7.
- Pasul 2. Numerele opuse se reduc: (−7) + 7 = 0, (−6) + 6 = 0, …, (−1) + 1 = 0, iar 0 nu schimbă suma.
- Pasul 3. Rămân neperechiate numerele −10, −9 și −8.
- Pasul 4. Suma: −10 − 9 − 8 = −27.
- Pasul 5. Răspuns corect: c) −27.
4. Dacă x − 1x = 21, atunci x² + 1x² este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Ridicăm la pătrat egalitatea dată: (x − 1x)² = 21² = 441.
- Pasul 2. Desfacem pătratul diferenței: x² − 2 · x · 1x + 1x² = x² − 2 + 1x².
- Pasul 3. Deci x² + 1x² − 2 = 441.
- Pasul 4. x² + 1x² = 441 + 2 = 443.
- Pasul 5. Răspuns corect: d) 443.
5. Dacă x ∈ (−9; 3], atunci numărul n = 3x + 10 aparține intervalului:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Pornim de la −9 < x ≤ 3.
- Pasul 2. Înmulțim cu 3 (număr pozitiv, sensul inegalităților se păstrează): −27 < 3x ≤ 9.
- Pasul 3. Adunăm 10: −17 < 3x + 10 ≤ 19.
- Pasul 4. Deci n ∈ (−17; 19].
- Pasul 5. Răspuns corect: c) (−17; 19].
6. Andrei afirmă: „Media geometrică a numerelor a = √13 − 2 și b = √13 + 2 este egală cu 9”. Afirmația lui Andrei este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Media geometrică a numerelor a și b este √a · b.
- Pasul 2. Produsul: a · b = (√13 − 2)(√13 + 2) = (√13)² − 2² = 13 − 4 = 9 (formula (x − y)(x + y) = x² − y²).
- Pasul 3. Media geometrică: √9 = 3.
- Pasul 4. Andrei a confundat produsul (care este 9) cu media geometrică (care este 3). Deoarece 3 ≠ 9, afirmația este falsă.
- Pasul 5. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. În figura alăturată, CD = 2 · AB, BC = 4 cm, iar AD = 22 cm. Lungimea segmentului AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Notăm AB = x. Atunci CD = 2x, iar BC = 4 cm.
- Pasul 2. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci AD = AB + BC + CD.
- Pasul 3. Înlocuim: 22 = x + 4 + 2x, adică 3x = 22 − 4 = 18.
- Pasul 4. x = 18 : 3 = 6 cm, deci AB = 6 cm.
- Pasul 5. (Verificare: AB = 6, BC = 4, CD = 12 și 6 + 4 + 12 = 22 ✓.)
- Pasul 6. Răspuns corect: b) 6 cm.
2. În figura alăturată, punctele A, O, C sunt coliniare, iar OB ⊥ OD. Dacă ∡AOB = 30°, atunci măsura unghiului COD este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. OB ⊥ OD înseamnă ∡BOD = 90°.
- Pasul 2. Din figură, raza OA se află în interiorul unghiului drept BOD, deci ∡BOD = ∡BOA + ∡AOD, adică 90° = 30° + ∡AOD, de unde ∡AOD = 60°.
- Pasul 3. Punctele A, O, C sunt coliniare, deci ∡AOD și ∡COD sunt unghiuri adiacente suplimentare: ∡AOD + ∡COD = 180°.
- Pasul 4. ∡COD = 180° − 60° = 120°.
- Pasul 5. Răspuns corect: d) 120°.
3. În triunghiul ABC, AD este mediană, AD = 6 cm, BC = 12 cm și ∡C = 30°. Aria triunghiului ABC este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. AD este mediană, deci D este mijlocul lui BC: BD = DC = 12 : 2 = 6 cm.
- Pasul 2. Atunci AD = BD = DC = 6 cm = BC : 2. Mediana din A este jumătate din latura BC, deci triunghiul ABC este dreptunghic în A (reciproca teoremei medianei în triunghiul dreptunghic), cu ipotenuza BC = 12 cm.
- Pasul 3. Cateta AB se opune unghiului de 30°: AB = BC : 2 = 6 cm. Cu Pitagora: AC = √12² − 6² = √108 = 6√3 cm.
- Pasul 4. Aria = (AB · AC) : 2 = (6 · 6√3) : 2 = 18√3 cm².
- Pasul 5. (Altfel: aria ABC = 2 · aria ADC; în triunghiul isoscel ADC (DA = DC = 6) cu ∡C = 30°, aria = (12) · 6 · 6 · sin 120° = 9√3, iar dublul este 18√3 ✓.)
- Pasul 6. Răspuns corect: a) 18√3 cm².
4. În figura alăturată ABC este un triunghi dreptunghic în A. Dacă AB = 4 cm, semidreapta BD este bisectoarea ∡ABC, D ∈ AC, BD = DC, lungimea segmentului BC este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Notăm ∡DBC = x. Cum BD este bisectoarea unghiului ABC, ∡ABD = x și ∡ABC = 2x.
- Pasul 2. Din BD = DC rezultă că triunghiul BDC este isoscel, deci ∡C = ∡DBC = x.
- Pasul 3. În triunghiul dreptunghic ABC: ∡B + ∡C = 90°, adică 2x + x = 90°, deci x = 30°; astfel ∡C = 30°.
- Pasul 4. Cateta AB se opune unghiului de 30°, deci AB = BC : 2, adică BC = 2 · 4 = 8 cm.
- Pasul 5. Răspuns corect: d) 8 cm.
5. În figura alăturată, ABCD este un paralelogram, ∡A = 60°, AB = 12 cm, BC = 8 cm. Aria paralelogramului este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Ducem înălțimea DE din D pe AB (E ∈ AB). În triunghiul dreptunghic ADE, ∡A = 60°, deci ∡ADE = 30°.
- Pasul 2. Cateta AE se opune unghiului de 30°: AE = AD : 2 = 8 : 2 = 4 cm. Cu Pitagora: DE = √8² − 4² = √48 = 4√3 cm.
- Pasul 3. Aria paralelogramului = baza · înălțimea = AB · DE = 12 · 4√3 = 48√3 cm².
- Pasul 4. (Verificare cu formula: aria = AB · AD · sin 60° = 12 · 8 · √32 = 48√3 ✓.)
- Pasul 5. Răspuns corect: b) 48√3 cm².
6. În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat ABCD. Dacă aria triunghiului ABC este egală cu 9√3 cm², atunci suma tuturor muchiilor tetraedrului este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Într-un tetraedru regulat toate cele 6 muchii sunt egale, iar fiecare față este un triunghi echilateral. Fie l lungimea muchiei.
- Pasul 2. Aria triunghiului echilateral ABC este l²√3 : 4 = 9√3.
- Pasul 3. Împărțim la √3 și înmulțim cu 4: l² = 36, deci l = 6 cm.
- Pasul 4. Tetraedrul are 6 muchii: suma lor = 6 · 6 = 36 cm.
- Pasul 5. Răspuns corect: c) 36 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.