5. Patru elevi, Eva, David, Maria și Valentin, au calculat media aritmetică a numerelor a = √132 − 122 și b = √152 + 202. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Eva
David
Maria
Valentin
15
18
30
36
Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media aritmetică este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.a = √132 − 122 = √169 − 144 = √25 = 5.
Pasul 2.b = √152 + 202 = √225 + 400 = √625 = 25.
Pasul 3. Media aritmetică: a + b2 = 5 + 252 = 302 = 15.
Pasul 4. Valoarea 15 apare în tabel la Eva. (Maria a obținut 30 = a + b, adică a uitat să împartă la 2.)
Pasul 5. Răspuns corect: a) Eva.
5pExercițiul 6
6. Într-o școală sunt 800 de elevi înscriși la clasele V–VIII. Repartiția acestora pe clase este redată în diagrama alăturată. Teodora afirmă că în clasa a VIII-a sunt înscriși 250 de elevi. Afirmația Teodorei este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din diagramă, procentele cunoscute sunt: clasa a V-a – 20%, clasa a VI-a – 35%, clasa a VII-a – 15%.
Pasul 2. Suma lor: 20% + 35% + 15% = 70%.
Pasul 3. Întreaga școală reprezintă 100%, deci clasa a VIII-a reprezintă 100% − 70% = 30%.
Pasul 4. 30% din 800 = 30100 · 800 = 240 de elevi.
Pasul 5. Teodora a spus 250 de elevi, iar 250 ≠ 240, deci afirmația este falsă.
Pasul 6. Răspuns corect: b) Falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată, punctele M, N, P și Q sunt coliniare în această ordine, astfel încât MNPQ = 23, NP = 4 cm, iar NP = PQ − MN. Lungimea segmentului MQ este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din MNPQ = 23 notăm MN = 2k și PQ = 3k (k > 0).
Pasul 2. Condiția NP = PQ − MN devine 4 = 3k − 2k = k, deci k = 4.
Pasul 3. Atunci MN = 8 cm și PQ = 12 cm.
Pasul 4. Punctele sunt în ordinea M, N, P, Q: MQ = MN + NP + PQ = 8 + 4 + 12 = 24 cm.
Pasul 5. (Cu coordonate: M = 0, N = 8, P = 12, Q = 24.)
Pasul 6. Răspuns corect: c) 24 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, DA ∥ EC și măsura unghiului ACE = 130°. Dacă semidreapta AE este bisectoarea unghiului DAC, atunci măsura unghiului AEC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Dreptele DA și EC sunt paralele, iar AC este secantă. Punctele D și E sunt de aceeași parte a secantei AC, deci unghiurile DAC și ACE sunt interne de aceeași parte și sunt suplimentare.
Pasul 2. ∢DAC = 180° − ∢ACE = 180° − 130° = 50°.
Pasul 3. AE este bisectoarea unghiului DAC, deci ∢DAE = ∢EAC = 50° : 2 = 25°.
Pasul 4. Acum folosim secanta AE: unghiurile DAE și AEC sunt alterne interne (DA ∥ EC), deci sunt congruente: ∢AEC = ∢DAE = 25°.
3. În figura alăturată este reprezentat rombul MNPQ, având MP = 8√3 cm și măsura unghiului MNP egală cu 120°. Perimetrul triunghiului MQN este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm cu l latura rombului și cu O centrul rombului. Diagonalele rombului sunt perpendiculare, se înjumătățesc și sunt bisectoare: ∢MNO = 120° : 2 = 60°.
Pasul 2. MO = MP2 = 8√32 = 4√3 cm.
Pasul 3. În triunghiul dreptunghic MON: sin 60° = MOMN, adică √32 = 4√3l, deci l = 8 cm.
Pasul 4. Unghiurile alăturate ale rombului sunt suplimentare: ∢QMN = 180° − ∢MNP = 180° − 120° = 60°.
Pasul 5. Triunghiul MQN are MQ = MN = 8 cm (laturi ale rombului) și ∢QMN = 60°, deci este isoscel cu un unghi de 60°, adică echilateral.
Pasul 6. Atunci QN = 8 cm și perimetrul = 3 · 8 = 24 cm.
Pasul 7. Răspuns corect: a) 24 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD. Bisectoarea unghiului ADC intersectează dreptele AB și BC în punctele F, respectiv E. Dacă AD = 4 cm și EB = 2 cm, atunci aria dreptunghiului ABCD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În dreptunghi, BC = AD = 4 cm. Punctul E este pe dreapta BC, dincolo de B (vezi figura): CE = CB + BE = 4 + 2 = 6 cm.
Pasul 2. DE este bisectoarea unghiului ADC = 90°, deci ∢CDE = 45°.
Pasul 3. Triunghiul DCE este dreptunghic în C, cu ∢CDE = 45°, deci este dreptunghic isoscel: DC = CE = 6 cm.
Pasul 4. Atunci AB = DC = 6 cm și aria dreptunghiului este AB · AD = 6 · 4 = 24 cm2.
Pasul 5. (Verificare: triunghiul ADF este și el dreptunghic isoscel, AF = AD = 4 cm, iar FB = 6 − 4 = 2 cm = EB ✓.)
Pasul 6. Răspuns corect: b) 24 cm2.
5pExercițiul 5
5. Cercurile din figura alăturată sunt tangente exterior, punctul de tangență fiind B. Segmentele AB și BC sunt diametre în cele două cercuri, iar N, B și M sunt puncte coliniare. Dacă măsura arcului mic BN este 140°, atunci măsura arcului mic MC va fi egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. AB este diametru în cercul mic, deci arcul AB (o jumătate de cerc) are 180°. Punctul N este pe acest arc: arcul AN = 180° − arcul BN = 180° − 140° = 40°.
Pasul 2. Unghiul ABN este înscris în cercul mic și cuprinde arcul AN, deci ∢ABN = 40° : 2 = 20°.
Pasul 3. Punctele N, B, M sunt coliniare, iar A, B, C sunt coliniare, deci ∢ABN și ∢CBM sunt unghiuri opuse la vârf: ∢CBM = ∢ABN = 20°.
Pasul 4. Unghiul CBM este înscris în cercul mare și cuprinde arcul MC, deci arcul MC = 2 · 20° = 40°.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 40°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD, având vârful V, în care triunghiul VAC este dreptunghic cu aria egală cu 72 cm2. Atunci suma tuturor muchiilor piramidei este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Piramida este regulată: baza ABCD este pătrat, iar muchiile laterale VA = VB = VC = VD sunt egale. Triunghiul VAC are VA = VC, deci unghiul drept este în V (ipotenuza este diagonala AC).
Pasul 2. Fie VA = VC = m. Aria triunghiului VAC = m · m : 2 = 72, deci m2 = 144 și m = 12 cm.
Pasul 3. Ipotenuza AC = m√2 = 12√2 cm. Aceasta este diagonala pătratului ABCD, deci latura bazei este AC : √2 = 12 cm.
Pasul 4. Piramida are 4 muchii laterale (de 12 cm) și 4 muchii ale bazei (de 12 cm): suma = 8 · 12 = 96 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 96 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.