1. Rezultatul calculului −12 + 9 · 3 este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Ordinea operațiilor: mai întâi înmulțirea, apoi adunarea.
- Pasul 2. 9 · 3 = 27.
- Pasul 3. −12 + 27 = 15.
- Pasul 4. Răspuns corect: d) 15.
SUBIECTUL I
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 24 și 36 este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Descompunem în factori primi: 24 = 23 · 3 și 36 = 22 · 32.
- Pasul 2. Cel mai mic multiplu comun se obține luând factorii primi comuni și necomuni la puterea cea mai mare: 23 · 32.
- Pasul 3. c.m.m.m.c. = 8 · 9 = 72.
- Pasul 4. Verificare: 72 : 24 = 3 și 72 : 36 = 2 (împărțiri exacte); 12 este cel mai mare divizor comun, nu multiplul.
- Pasul 5. Răspuns corect: c) 72.
3. Dacă a5 = 1b, atunci rezultatul calculului 2 · a · b − 5 este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: a · b = 5 · 1.
- Pasul 2. a · b = 5.
- Pasul 3. 2 · a · b − 5 = 2 · 5 − 5 = 10 − 5 = 5.
- Pasul 4. Răspuns corect: c) 5.
4. Cei 7 băieți ai unei clase reprezintă 25% din numărul total de elevi. Numărul fetelor este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. 25% = 25100 = 14, deci 7 băieți sunt un sfert din numărul total de elevi.
- Pasul 2. Numărul total de elevi: 7 · 4 = 28.
- Pasul 3. Numărul fetelor: 28 − 7 = 21.
- Pasul 4. Verificare: 21 fete reprezintă 75% din 28 (28 · 0,75 = 21) ✓.
- Pasul 5. Răspuns corect: d) 21.
5. Adina a efectuat calculul 3√18 − 2√8. Rezultatul obținut de Adina este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Scoatem factorii de sub radical: √18 = √9 · 2 = 3√2 și √8 = √4 · 2 = 2√2.
- Pasul 2. 3√18 = 3 · 3√2 = 9√2 și 2√8 = 2 · 2√2 = 4√2.
- Pasul 3. 9√2 − 4√2 = (9 − 4)√2 = 5√2.
- Pasul 4. Atenție: √18 − √8 nu se calculează ca √18 − 8; radicalii nu se scad sub radical.
- Pasul 5. Răspuns corect: d) 5√2.
6. Andrei afirmă că „Cel mai mic număr întreg din intervalul (−3; 4√2] este −3”. Afirmația lui Andrei este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Paranteza din stânga a intervalului (−3; 4√2] este rotundă, deci −3 nu aparține intervalului.
- Pasul 2. Intervalul conține exact numerele reale x cu −3 < x ≤ 4√2. Deoarece 5 < 4√2 < 6, putem determina numerele întregi fără rotunjirea capătului intervalului.
- Pasul 3. Cel mai mic număr întreg din interval este −2 (cel imediat următor lui −3).
- Pasul 4. Afirmația lui Andrei (−3) este falsă.
- Pasul 5. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. În figura de mai jos, punctele A, M, B, N și C sunt coliniare. Dacă M este mijlocul segmentului AB, BC = 3 · AB2, NC = BC3 și MN = 15 cm, atunci lungimea segmentului AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Notăm AB = x. Atunci MB = x : 2 (M este mijlocul lui AB).
- Pasul 2. BC = 3x2 și NC = BC3 = 3x6 = x2.
- Pasul 3. Punctele sunt în ordinea A, M, B, N, C, deci BN = BC − NC = 3x2 − x2 = x.
- Pasul 4. MN = MB + BN = x2 + x = 3x2.
- Pasul 5. Din MN = 15 cm obținem 3x2 = 15, deci x = 15 · 2 : 3 = 10 cm.
- Pasul 6. Răspuns corect: b) 10 cm.
2. Unghiurile AOB, BOC, COD, DOE și AOE sunt unghiuri în jurul unui punct. Dacă ∡AOB = ∡BOC = ∡AOE, ∡DOC = 3 · ∡AOB și ∡DOE = 4 · ∡AOE − 20°, atunci măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor ∡BOC și ∡DOC este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Notăm ∡AOB = x. Atunci ∡BOC = ∡AOE = x, ∡DOC = 3x și ∡DOE = 4x − 20°.
- Pasul 2. Unghiurile din jurul unui punct însumează 360°: x + x + 3x + (4x − 20°) + x = 360°.
- Pasul 3. 10x − 20° = 360°, deci 10x = 380° și x = 38°.
- Pasul 4. Așadar ∡BOC = 38° și ∡DOC = 3 · 38° = 114°.
- Pasul 5. Bisectoarea lui ∡BOC și bisectoarea lui ∡DOC sunt de o parte și de alta a semidreptei OC, iar unghiul dintre ele este ∡BOC2 + ∡DOC2 = 19° + 57° = 76°.
- Pasul 6. Răspuns corect: a) 76°.
3. Dreptele a și b din figură sunt paralele. Valoarea lui x este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Dreapta a ∥ b, iar secanta le taie. Unghiul de 100° de la dreapta a este situat în stânga secantei, deasupra lui a. Unghiul corespunzător lui, de la dreapta b, este tot în stânga secantei, deasupra lui b, deci are tot 100°.
- Pasul 2. Unghiul de 3x − 40° este, la dreapta b, deasupra lui b și în dreapta secantei; el este adiacent suplimentar cu unghiul de 100°.
- Pasul 3. 3x − 40° = 180° − 100° = 80°.
- Pasul 4. 3x = 120°, deci x = 40°.
- Pasul 5. Răspuns corect: c) 40°.
4. Fie ABCD un paralelogram, AB = 6 cm, AD ⊥ BD, ∡ABD = 30°. Atunci aria paralelogramului ABCD este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Triunghiul ABD este dreptunghic în D (AD ⊥ BD), cu ipotenuza AB = 6 cm și ∡ABD = 30°.
- Pasul 2. Cateta AD se opune unghiului de 30°, deci AD = AB : 2 = 3 cm.
- Pasul 3. Pitagora: BD2 = AB2 − AD2 = 36 − 9 = 27, deci BD = 3√3 cm.
- Pasul 4. Aria triunghiului ABD = AD · BD2 = 3 · 3√32 = 9√32 = 4,5√3 cm2.
- Pasul 5. Diagonala BD împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente, deci aria paralelogramului este dublul ariei lui ABD.
- Pasul 6. AABCD = 2 · 4,5√3 = 9√3 cm2.
- Pasul 7. Răspuns corect: c) 9√3 cm2.
5. Punctele A, B, C sunt situate pe un cerc și AM este mediană în triunghiul ABC. Dacă AM = 2 cm și BC = 2 · AM, atunci lungimea cercului este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. BC = 2 · AM = 2 · 2 = 4 cm.
- Pasul 2. M este mijlocul lui BC, deci BM = MC = 2 cm. Rezultă AM = BM = MC = 2 cm.
- Pasul 3. Dacă mediana are lungimea jumătate din latura pe care cade, triunghiul este dreptunghic în A (reciproca teoremei medianei): ∡BAC = 90°.
- Pasul 4. Un unghi înscris de 90° subîntinde un diametru, deci BC este diametrul cercului: 2R = 4 cm, adică R = 2 cm.
- Pasul 5. Lungimea cercului: L = 2πR = 2π · 2 = 4π cm.
- Pasul 6. Răspuns corect: c) 4π cm.
6. ABCDA′B′C′D′ este o prismă patrulateră regulată cu AB = 6 cm și AA′ = 4 cm. Suma tuturor muchiilor prismei este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Prisma patrulateră regulată are 12 muchii: 8 muchii ale bazelor (4 la baza de jos și 4 la cea de sus), egale cu AB = 6 cm, și 4 muchii laterale, egale cu AA′ = 4 cm.
- Pasul 2. Muchiile bazelor: 8 · 6 = 48 cm.
- Pasul 3. Muchiile laterale: 4 · 4 = 16 cm.
- Pasul 4. Suma muchiilor: 48 + 16 = 64 cm.
- Pasul 5. Răspuns corect: b) 64 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.