1. Rezultatul calculului 0,25 · 4 − 2 este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Efectuăm mai întâi înmulțirea, apoi scăderea.
- Pasul 2. 0,25 · 4 = 14 · 4 = 1.
- Pasul 3. 1 − 2 = −1.
- Pasul 4. Răspuns corect: c) −1.
SUBIECTUL I
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
2. Calculând 6% din 10 000 de lei, obținem:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. 6% din 10 000 = 6100 · 10 000.
- Pasul 2. 10 000 : 100 = 100, iar 100 · 6 = 600.
- Pasul 3. Deci 6% din 10 000 lei = 600 lei.
- Pasul 4. (Verificare: 1% din 10 000 este 100 lei, deci 6% este 6 · 100 = 600 lei.)
- Pasul 5. Răspuns corect: c) 600 lei.
3. Într-o cutie sunt 30 de jetoane numerotate de la 1 la 30. Probabilitatea ca, la extragerea unui jeton, pe acesta să fie scris un număr prim, este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Probabilitatea = (cazuri favorabile) : (cazuri posibile). Cazuri posibile: 30 (numărul jetoanelor).
- Pasul 2. Numerele prime de la 1 la 30 sunt: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (numărul 1 nu este prim).
- Pasul 3. Sunt 10 numere prime, deci 10 cazuri favorabile.
- Pasul 4. P = 1030 = 13.
- Pasul 5. Răspuns corect: c) 13.
4. Produsul dintre cel mai mic număr întreg și cel mai mare număr natural par din intervalul (−3, 6) este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Intervalul (−3, 6) este deschis: −3 și 6 nu aparțin intervalului.
- Pasul 2. Cel mai mic număr întreg din interval este −2 (−3 este exclus).
- Pasul 3. Numerele naturale pare din interval sunt 0, 2, 4 (6 este exclus). Cel mai mare este 4.
- Pasul 4. Produsul: (−2) · 4 = −8.
- Pasul 5. Răspuns corect: d) −8.
5. Patru elevi, Ioana, Aida, Radu și Călin, au calculat media aritmetică a numerelor a = 4 + 2√2 și b = 2(1 − √2). Rezultatele obținute de ei sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Rezultatul corect a fost obținut de:
| Ioana | Aida | Radu | Călin |
|---|---|---|---|
| 3 + 2√2 | 3 | 2 − √2 | 2 |
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Desfacem paranteza: b = 2(1 − √2) = 2 − 2√2.
- Pasul 2. Suma: a + b = (4 + 2√2) + (2 − 2√2) = 6 (termenii cu √2 se reduc).
- Pasul 3. Media aritmetică: ma = a + b2 = 62 = 3.
- Pasul 4. Valoarea 3 apare în tabel la Aida.
- Pasul 5. Răspuns corect: b) Aida.
6. Afirmația „Ecuația 6x − √2 = 2x + √18, unde x ∈ ℚ, are soluția √2” este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Simplificăm radicalul: √18 = √9·√2 = 3√2.
- Pasul 2. Ecuația devine 6x − √2 = 2x + 3√2, adică 4x = 4√2, deci x = √2.
- Pasul 3. Numărul √2 nu este rațional (este irațional), iar ecuația trebuie rezolvată în mulțimea numerelor raționale ℚ.
- Pasul 4. Deci ecuația nu are nicio soluție în ℚ; în particular, √2 nu este soluție în ℚ. Afirmația este falsă.
- Pasul 5. (În ℝ, soluția ar fi fost chiar √2, dar enunțul cere x ∈ ℚ.)
- Pasul 6. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. În figura alăturată punctele A, B, C, D, E sunt coliniare, BC = 2 · AB = 13 · CD, iar DE = 12 · CD. Dacă CE = 36 cm, lungimea segmentului AE este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, E. Exprimăm totul în funcție de CD.
- Pasul 2. DE = 12 · CD, deci CE = CD + DE = CD + 12·CD = 32 · CD. Din CE = 36 obținem CD = 36 · 23 = 24 cm și DE = 12 cm.
- Pasul 3. BC = 13 · CD = 8 cm.
- Pasul 4. BC = 2 · AB, deci AB = 8 : 2 = 4 cm.
- Pasul 5. AE = AB + BC + CD + DE = 4 + 8 + 24 + 12 = 48 cm.
- Pasul 6. Răspuns corect: b) 48 cm.
2. În figura alăturată unghiurile AOB și BOC sunt adiacente suplimentare, OD este bisectoarea ∢AOB și OE este perpendiculară pe OB. Dacă ∢BOC are măsura 42°, măsura unghiului DOE este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Unghiurile AOB și BOC sunt adiacente suplimentare: ∢AOB + ∢BOC = 180°, deci ∢AOB = 180° − 42° = 138°.
- Pasul 2. OD este bisectoarea unghiului AOB: ∢DOB = 138° : 2 = 69°.
- Pasul 3. OE ⊥ OB, deci ∢EOB = 90°.
- Pasul 4. Din figură, D se află între E și B (în interiorul unghiului EOB): ∢DOE = ∢EOB − ∢DOB = 90° − 69° = 21°.
- Pasul 5. Răspuns corect: b) 21°.
3. În figura alăturată triunghiul ABC este dreptunghic în A, BD este bisectoarea unghiului ABC, D ∈ AC și BD = DC = 6 cm. Lungimea segmentului AC este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Notăm ∢ABD = ∢DBC = x (BD este bisectoare), deci ∢ABC = 2x.
- Pasul 2. Triunghiul BDC are BD = DC, deci este isoscel și ∢DCB = ∢DBC = x.
- Pasul 3. În triunghiul dreptunghic ABC: ∢B + ∢C = 90°, adică 2x + x = 90°, deci x = 30°.
- Pasul 4. În triunghiul ABD, dreptunghic în A, cu ∢ABD = 30°: cateta AD este opusă unghiului de 30°, deci AD = BD : 2 = 3 cm.
- Pasul 5. AC = AD + DC = 3 + 6 = 9 cm.
- Pasul 6. Răspuns corect: c) 9 cm.
4. În figura alăturată ABCD și BDEF sunt pătrate, aria pătratului ABCD este 25 cm2. Aria pătratului BDEF este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Aria pătratului ABCD este 25 cm2, deci latura lui este AB = 5 cm.
- Pasul 2. Latura pătratului BDEF este diagonala BD a pătratului ABCD: BD = 5√2 cm (diagonala = latura · √2).
- Pasul 3. Aria pătratului BDEF = BD2 = (5√2)2 = 25 · 2 = 50 cm2.
- Pasul 4. (Altfel: pătratul construit pe diagonală are aria dublă față de pătratul inițial: 2 · 25 = 50 cm2.)
- Pasul 5. Răspuns corect: c) 50 cm2.
5. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD înscris în cercul de centru O și rază R. Dacă AB = 6 cm, atunci lungimea cercului este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Diagonala pătratului de latură 6 cm este AC = 6√2 cm.
- Pasul 2. Pătratul este înscris în cerc, deci diagonala lui este diametru: 2R = 6√2, adică R = 3√2 cm.
- Pasul 3. Lungimea cercului: L = 2πR = 2π · 3√2 = 6√2π cm.
- Pasul 4. Răspuns corect: b) 6√2π cm.
6. Se consideră cubul ABCDA′B′C′D′. Măsura unghiului dintre dreptele BC′ și AC este de:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. În cub, fața BCC′B′ și fața ADD′A′ sunt paralele și BC′ ∥ AD′ (sunt diagonale paralele ale unor fețe opuse). Unghiul dintre BC′ și AC este deci egal cu unghiul dintre AD′ și AC.
- Pasul 2. Notăm muchia cubului cu l. Atunci AC, AD′ și CD′ sunt diagonale ale unor fețe ale cubului, deci toate sunt egale cu l√2.
- Pasul 3. Triunghiul ACD′ este echilateral, deci ∢CAD′ = 60°.
- Pasul 4. Prin urmare, unghiul dintre dreptele BC′ și AC este de 60°.
- Pasul 5. Răspuns corect: a) 60°.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.