5. Patru elevi, Anca, Vlad, Mara și Cristi, au calculat media geometrică a numerelor: a = √64 și b = 2100 − 299. Rezultatele obținute de ei sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Anca
Vlad
Mara
Cristi
2102
4
16
251
Dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de către:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.a = √64 = 8 = 23.
Pasul 2.b = 2100 − 299 = 299 · (2 − 1) = 299.
Pasul 3. Media geometrică: √a · b = √23 · 299 = √2102.
Pasul 4. Cum 2102 = (251)2, obținem √2102 = 251.
Pasul 5. Rezultatul 251 a fost obținut de Cristi.
Pasul 6. Răspuns corect: d) Cristi.
5pExercițiul 6
6. Afirmația: „Mulțimea A = {x ∈ ℤ | x ∈ [−9; 6) ∩ [−1; 7]} are 7 elemente”, este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Intersecția intervalelor: [−9; 6) ∩ [−1; 7] = [−1; 6) (de la −1 inclusiv până la 6 exclusiv).
Pasul 2. Numerele întregi din [−1; 6) sunt: −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Pasul 3. Sunt 7 elemente (6 nu face parte din mulțime, deoarece intervalul este deschis în 6).
Pasul 4. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. Fie segmentul PQ și punctul M în interiorul segmentului, astfel încât PMMQ = 45. Raportul PMPQ este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din PMMQ = 45 putem scrie PM = 4k și MQ = 5k (k > 0).
Pasul 2. M este în interiorul segmentului, deci PQ = PM + MQ = 4k + 5k = 9k.
Pasul 3. Raportul: PMPQ = 4k9k = 49.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 49.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, ∡AOB, ∡BOC și ∡AOC sunt unghiuri în jurul punctului O. Știind că ∡AOC este drept, OM este bisectoarea unghiului BOC, iar ∡BOM = 55°, atunci măsura ∡AOB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. OM este bisectoarea unghiului BOC, deci ∡BOC = 2 · ∡BOM = 2 · 55° = 110°.
Pasul 2. Cele trei unghiuri ∡AOB, ∡BOC, ∡AOC sunt în jurul punctului O, deci suma lor este 360°.
3. Pe latura AC a triunghiului echilateral ABC se iau punctele M, N și P astfel încât AM = MN = NP = PC. Dacă latura AC este de 12 cm, lungimea segmentului BM este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctele M, N, P împart latura AC în 4 segmente egale: AM = MN = NP = PC = 12 : 4 = 3 cm.
Pasul 2. Fie BH înălțimea triunghiului echilateral: H este mijlocul lui AC, AH = 6 cm, iar BH2 = AB2 − AH2 = 122 − 62 = 108, deci BH = 6√3 cm (formula înălțimii: l√32).
Pasul 3. Cum AM = 3 cm < AH = 6 cm, punctul M este între A și H, iar HM = AH − AM = 6 − 3 = 3 cm.
Pasul 4. În triunghiul dreptunghic BHM (dreptunghic în H) aplicăm teorema lui Pitagora: BM2 = BH2 + HM2 = 108 + 9 = 117.
Pasul 5. BM = √117 = √9 · 13 = 3√13 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: a) 3√13 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD, cu AB = 20 cm și ∡BAD = 60°. Punctele M și N sunt mijloacele laturilor AB, respectiv AD, iar P este intersecția dreptelor MN și AC. Aria patrulaterului CPMB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Rombul are toate laturile de 20 cm, iar ∡BAD = 60°, deci ΔABD este echilateral și BD = 20 cm. Diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc în O: AO = √202 − 102 = 10√3 cm, deci AC = 20√3 cm.
Pasul 2. Aria triunghiului ABC este jumătate din aria rombului: AABC = 12 · AC · BO = 12 · 20√3 · 10 = 100√3 cm2.
Pasul 3. MN este linie mijlocie în ΔABD, deci MN ∥ BD, iar MN taie AO la mijloc: AP = AO2 = 5√3 cm.
Pasul 4. Patrulaterul CPMB se obține scăzând din ΔABC triunghiul AMP. În ΔAMP: AM = 10 cm, AP = 5√3 cm, iar ∡MAP = 30° (AC este bisectoarea unghiului de 60°).
Pasul 5. AAMP = 12 · AM · AP · sin 30° = 12 · 10 · 5√3 · 12 = 25√32 cm2.
Pasul 3. ∡AOB este unghi la centru, deci măsura arcului mic AB este egală cu măsura unghiului la centru: 100°.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 100°.
5pExercițiul 6
6. În tetraedrul regulat ABCD suma ariilor celor patru fețe este 64√3 cm2. Atunci lungimea segmentului BC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Tetraedrul regulat are 4 fețe care sunt triunghiuri echilaterale congruente. Aria unei fețe: 64√3 : 4 = 16√3 cm2.
Pasul 2. Aria unui triunghi echilateral de latură l este l2√34. Deci l2√34 = 16√3.
Pasul 3.l2 = 16 · 4 = 64, deci l = 8 cm.
Pasul 4. Toate muchiile tetraedrului regulat sunt egale, deci BC = 8 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 8 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.