Pasul 1. Ordinea operațiilor: mai întâi parantezele, apoi înmulțirea, apoi adunarea.
Pasul 2. 7 − 5 = 2, deci expresia devine 2 + 3 · 2.
Pasul 3. 3 · 2 = 6, iar 2 + 6 = 8.
Pasul 4. Atenție: 2 + 3 = 5 și 5 · 2 = 10 este greșit, pentru că înmulțirea se face înaintea adunării.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 8.
5pExercițiul 2
2. Valoarea numărului real x din egalitatea x + 13 = 106 este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Simplificăm fracția din dreapta: 106 = 53.
Pasul 2. Egalitatea devine x + 13 = 53. Cum numitorii sunt egali (3), numărătorii sunt egali: x + 1 = 5.
Pasul 3.x = 5 − 1 = 4.
Pasul 4. Verificare: 4 + 13 = 53 = 106 ✓.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 4.
5pExercițiul 3
3. Temperatura aerului, măsurată într-o zi din luna decembrie la ora 7, este de −8°C, la ora 12 este cu 5 grade mai mare, iar la ora 19 este cu 3 grade mai mică decât la ora 12. Diferența dintre temperatura măsurată la ora 19 și temperatura măsurată la ora 7 este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. La ora 7: −8°C.
Pasul 2. La ora 12 este cu 5 grade mai mare: −8 + 5 = −3°C.
Pasul 3. La ora 19 este cu 3 grade mai mică decât la ora 12: −3 − 3 = −6°C.
Pasul 4. Diferența dintre temperatura de la ora 19 și cea de la ora 7: (−6) − (−8) = −6 + 8 = 2°C.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 2°C.
5pExercițiul 4
4. Se consideră mulțimile A = {x ∈ ℤ* | |x| ≤ 2} și B = {−1, 0, 1}. Numărul de elemente al mulțimii A ∩ B este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. |x| ≤ 2 înseamnă −2 ≤ x ≤ 2. Numerele întregi din acest interval sunt −2, −1, 0, 1, 2.
Pasul 2. Cum x ∈ ℤ* (întregi nenuli), 0 nu aparține lui A: A = {−2, −1, 1, 2}.
Pasul 3. Intersecția A ∩ B conține elementele comune lui A și B: B = {−1, 0, 1}, iar 0 nu e în A.
Pasul 4. A ∩ B = {−1, 1}, deci are 2 elemente.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 2.
5pExercițiul 5
5. Rezolvând inecuația x3 − x − 12 < 1, x ∈ ℝ, elevii Cosmin, Raluca, Ioana și Matei au obținut rezultatele înregistrate în tabelul de mai jos:
Cosmin
Raluca
Ioana
Matei
x ∈ (−∞, −9)
x ∈ (−∞, 3)
x ∈ (−3, ∞)
x ∈ (−9, ∞)
Elevul care a obținut rezultatul corect este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Aducem la numitorul comun 6: 2x6 − 3(x − 1)6 < 66.
Pasul 2. Înmulțim cu 6 (număr pozitiv, sensul inegalității se păstrează): 2x − 3(x − 1) < 6.
Pasul 4. −x < 3. Înmulțim cu (−1) și schimbăm sensul inegalității: x > −3.
Pasul 5. Mulțimea soluțiilor este (−3, ∞), rezultatul obținut de Ioana.
Pasul 6. Răspuns corect: c) Ioana.
5pExercițiul 6
6. O umbrelă costă 50 lei. Ionel spune: „După o scumpire cu 15%, umbrela va costa 65 lei.” Afirmația lui Ionel este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Scumpirea este de 15% din 50 lei: 15100 · 50 = 7,5 lei.
Pasul 2. Prețul nou: 50 + 7,5 = 57,5 lei.
Pasul 3. Cum 57,5 ≠ 65, afirmația lui Ionel este falsă. (O scumpire de la 50 la 65 lei înseamnă 15 lei, adică 30%.)
Pasul 4. Răspuns corect: b) Falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată, punctele A, B, C, D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât lungimile segmentelor AB, BC, CD, măsurate în cm, sunt direct proporționale cu numerele 2, 3, respectiv 5, iar AD = 20 cm. Lungimea segmentului BC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Segmentele sunt direct proporționale cu 2, 3, 5: AB2 = BC3 = CD5 = k. Deci AB = 2k, BC = 3k, CD = 5k.
Pasul 2. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci AD = AB + BC + CD = 2k + 3k + 5k = 10k.
Pasul 3. Din AD = 20 cm obținem 10k = 20, deci k = 2.
Pasul 4. BC = 3k = 3 · 2 = 6 cm.
Pasul 5. Verificare: AB = 4, BC = 6, CD = 10, iar 4 + 6 + 10 = 20 ✓.
Pasul 6. Răspuns corect: d) 6 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf ∡AOB și ∡COD. Semidreapta OM este bisectoarea unghiului ∡COD, iar ∡BOC = 120°. Măsura unghiului ∡COM este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiurile AOB și COD sunt opuse la vârf, deci punctele A, O, C sunt coliniare și B, O, D sunt coliniare.
Pasul 2. Unghiurile BOC și COD sunt adiacente suplimentare (B, O, D coliniare): ∡COD = 180° − ∡BOC = 180° − 120° = 60°.
Pasul 3. OM este bisectoarea lui ∡COD, deci ∡COM = 60° : 2 = 30°.
Pasul 4. Răspuns corect: a) 30°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel ABC, cu ∡B = 90°, și BD ⊥ AC, D ∈ AC, BD = 6 cm. Lungimea ipotenuzei AC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABC este isoscel (AB = BC) cu unghiul drept în B, deci baza (ipotenuza) este AC.
Pasul 2. În triunghiul isoscel, înălțimea BD corespunzătoare bazei este și mediană: D este mijlocul ipotenuzei AC.
Pasul 3. În triunghiul dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: BD = AC : 2.
Pasul 4. AC = 2 · BD = 2 · 6 = 12 cm.
Pasul 5. Verificare: AB = BC = 6√2 cm, iar AC = AB√2 = 6√2 · √2 = 12 cm ✓.
Pasul 6. Răspuns corect: a) 12 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD în care M este mijlocul laturii AB, iar DB ∩ CM = {N}, MN = 5 cm. Perimetrul pătratului ABCD este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm latura pătratului cu l. Atunci MB = l : 2.
Pasul 2. Triunghiurile MNB și CND sunt asemenea (MB ∥ CD, deci unghiurile alterne interne sunt congruente): MBCD = MNNC = 12. Rezultă că NC = 2 · MN = 10 cm și MC = MN + NC = 15 cm.
Pasul 3. În triunghiul dreptunghic MBC (unghi drept în B): MC2 = MB2 + BC2 = l24 + l2 = 5l24.
Pasul 4. MC = 15, deci 225 = 5l24, adică l2 = 180 și l = √180 = 6√5 cm.
Pasul 5. Perimetrul: P = 4l = 4 · 6√5 = 24√5 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: d) 24√5 cm.
5pExercițiul 5
5. Se consideră cercurile C1(O1, r1) și C2(O2, r2) poziționate ca în figura alăturată. Notăm cu S segmentul deschis cu extremitățile O1 și O2 (fără extremități). Distanța dintre centrele celor două cercuri este de 6 cm, iar r1 = 5 cm, r2 = 3 cm și C1(O1, r1) ∩ S = {B}; C2(O2, r2) ∩ S = {A}. Lungimea segmentului AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. B este pe cercul C1, pe segmentul deschis S, între O1 și O2: O1B = r1 = 5 cm.
Pasul 2. A este pe cercul C2, între O1 și O2: O2A = r2 = 3 cm, deci O1A = O1O2 − O2A = 6 − 3 = 3 cm.
Pasul 3. Din figură, A se află între O1 și B, deci AB = O1B − O1A = 5 − 3 = 2 cm.
Pasul 4. Verificare: BO2 = 6 − 5 = 1 cm și AO2 = 3 cm, iar AB = AO2 − BO2 = 3 − 1 = 2 cm ✓.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 2 cm.
5pExercițiul 6
6. Un cub are suma lungimilor tuturor muchiilor egală cu 60 cm. Aria unei fețe laterale a cubului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Cubul are 12 muchii egale. Muchia: 60 : 12 = 5 cm.
Pasul 2. O față laterală este un pătrat cu latura de 5 cm.
Pasul 3. Aria feței: 5 · 5 = 25 cm2.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 25 cm2.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
