Pasul 4. Atenție: dacă s-ar aduna mai întâi 12 + 16 + 12 = 76 și apoi s-ar înmulți cu 0,(6), s-ar obține 79; dar în enunț nu sunt paranteze, deci înmulțirea are prioritate.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 1.
5pExercițiul 2
2. Se consideră mulțimea A = {x ∈ R | |3 − 2x| < 7}. Suma numerelor naturale din mulțimea A este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Inegalitatea |E| < 7 este echivalentă cu −7 < E < 7. Deci −7 < 3 − 2x < 7.
Pasul 2. Scădem 3 din toți membrii: −10 < −2x < 4.
Pasul 3. Împărțim la −2 (număr negativ, deci inversăm sensul inegalităților): 5 > x > −2, adică −2 < x < 5.
Pasul 4. Numerele naturale din interval: 0, 1, 2, 3, 4. Suma lor este 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 10.
5pExercițiul 3
3. Dacă x + 3yx = 1110, atunci valoarea raportului xy este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Separăm fracția: x + 3yx = 1 + 3yx.
Pasul 2. Atunci 1 + 3yx = 1110, deci 3yx = 1110 − 1 = 110.
Pasul 3. De aici yx = 130, iar raportul invers este xy = 30.
Pasul 4. (Verificare: pentru x = 30 și y = 1: (30 + 3) : 30 = 3330 = 1110 ✓.)
6. Andrei afirmă: „Un număr natural este divizibil cu 4 dacă și numai dacă are ultima cifră 0, 4 sau 8.” Afirmația lui Andrei este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Un număr natural este divizibil cu 4 dacă numărul format din ultimele sale două cifre este divizibil cu 4 (nu doar ultima cifră).
Pasul 2. Contraexemplu: 14 are ultima cifră 4, dar 14 : 4 nu este exact (14 = 3 · 4 + 2). La fel 10 (ultima cifră 0) nu se împarte exact la 4.
Pasul 3. Deci „ultima cifră 0, 4 sau 8” nu este suficientă; afirmația este falsă.
Pasul 4. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C, M și D cu proprietățile: 3 · AB = 2 · BC, CD = 2 · AB și AD = 36 cm, iar punctul M este mijlocul segmentului CD. Lungimea segmentului MD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din 3 · AB = 2 · BC rezultă ABBC = 23: luăm AB = 2k și BC = 3k.
Pasul 2.CD = 2 · AB = 4k.
Pasul 3. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci AD = AB + BC + CD = 2k + 3k + 4k = 9k = 36, de unde k = 4.
Pasul 4. Atunci CD = 4 · 4 = 16 cm, iar M este mijlocul lui CD: MD = 16 : 2 = 8 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 8 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată sunt reprezentate semidreptele perpendiculare OA și OB. Se construiesc semidreptele OC, în interiorul unghiului, și OD, în exteriorul unghiului, astfel încât OD ⊥ OC. Semidreapta OE este bisectoarea unghiului ∡BOC. Dacă măsura unghiului ∡EOC este egală cu 22°, atunci măsura unghiului ∡AOD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.OE este bisectoarea lui ∡BOC, deci ∡BOC = 2 · 22° = 44°.
Pasul 2. Cum OA ⊥ OB, avem ∡AOB = 90°, iar OC este în interiorul lui ∡AOB: ∡AOC = 90° − 44° = 46°.
Pasul 3.OD ⊥ OC (deci ∡COD = 90°) și OD este în exteriorul unghiului ∡AOB, de partea lui OB (vezi figura). Semidreptele se succed în ordinea OA, OC, OB, OD.
3. În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD pe latura căruia se consideră un punct oarecare E. Dacă aria triunghiului AEB este egală cu 24 cm2, atunci aria rombului este egală cu: Punctul E aparține laturii CD.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din figură, punctul E se află pe latura CD, opusă laturii AB (într-un romb, laturile opuse sunt paralele: AB ∥ CD).
Pasul 2. Distanța de la E la dreapta AB este aceeași pentru orice poziție a lui E pe CD și este egală cu înălțimea h a rombului.
Pasul 3. Aria triunghiului AEB = AB · h2 = 24 cm2, deci AB · h = 48.
Pasul 4. Aria rombului = latura · înălțimea = AB · h = 48 cm2 (adică dublul ariei triunghiului).
Pasul 5. Răspuns corect: b) 48 cm2.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat trapezul oarecare ABCD ale cărui laturi neparalele se intersectează în punctul M. Dacă bazele trapezului au lungimile AB = 18 cm și CD = 9 cm, iar perimetrul trapezului este egal cu 50 cm, atunci perimetrul triunghiului MAB este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Cum CD ∥ AB, triunghiurile MCD și MAB sunt asemenea, cu raportul de asemănare CDAB = 918 = 12.
Pasul 2. Deci MD = ½ · MA și MC = ½ · MB: D și C sunt mijloacele laturilor MA și MB (CD este linie mijlocie), adică MD = DA și MC = CB.
Pasul 3. Perimetrul trapezului: AB + BC + CD + DA = 18 + BC + 9 + DA = 50, deci BC + DA = 23 cm.
Pasul 4. Perimetrul triunghiului MAB = MA + MB + AB = 2 · DA + 2 · CB + 18 = 2 · 23 + 18 = 64 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 64 cm.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O și raza egală cu 15 cm. Distanța de la centrul cercului la coarda AB este OM = 5 cm. Lungimea coardei AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Distanța de la centru la coardă este lungimea perpendicularei din O pe AB: OM ⊥ AB. Perpendiculara din centru pe o coardă o împarte în două părți egale: AM = MB.
Pasul 2. În triunghiul dreptunghic OMA: OA = 15 (rază) și OM = 5, deci AM2 = 152 − 52 = 225 − 25 = 200.
Pasul 3.AM = √200 = 10√2 cm.
Pasul 4.AB = 2 · AM = 20√2 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 20√2 cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDMNPQ. Măsura unghiului format de dreptele MD și NQ este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm cu a muchia cubului (ABCD este fața de jos, iar MNPQ fața de sus, cu M deasupra lui A, N deasupra lui B, Q deasupra lui D).
Pasul 2. Patrulaterul BDQN este dreptunghi (BN și DQ sunt muchii verticale, paralele și egale), deci NQ ∥ BD. Unghiul dreptelor MD și NQ este atunci egal cu unghiul dreptelor MD și BD, adică ∡MDB.
Pasul 3. Segmentele MD, DB și MB sunt diagonale ale unor fețe ale cubului (fața AMQD, baza ABCD, fața ABNM), deci fiecare are lungimea a√2.
Pasul 4. Triunghiul MDB are cele trei laturi egale, deci este echilateral, iar unghiurile lui au 60°. Așadar ∡MDB = 60°.
Pasul 5. (Verificare cu vectori: pentru a = 1, MD = (0, 1, −1), NQ = (−1, 1, 0); cos = 1(√2 · √2) = 12, deci 60°.)
Pasul 6. Răspuns corect: d) 60°.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La simulare, ca și la Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
