4. Fracția ordinară 56 scrisă sub formă de fracție zecimală este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Împărțim 5 la 6: 50 : 6 = 8 rest 2 (prima zecimală este 8); apoi 20 : 6 = 3 rest 2, apare din nou restul 2, deci cifra 3 se repetă la nesfârșit: 5 : 6 = 0,8333…
Pasul 2. Prima zecimală (8) nu se repetă, iar cifra 3 formează perioada, deci 5 : 6 = 0,8(3).
Pasul 3. (0,83 și 0,833 sunt numere cu un număr finit de zecimale, deci nu sunt egale cu 56; iar 0,(83) = 0,8383… este diferit.)
Pasul 4. Răspuns corect: c) 0,8(3).
5pExercițiul 5
5. Patru elevi au calculat media aritmetică a numerelor a = 14 + 2√18 și b = 2(7 − 3√2). Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Erika
Luca
Roxana
Denis
14
6√2
28
14 + 3√2
Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media aritmetică este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Scoatem factorii de sub radical: √18 = 3√2, deci a = 14 + 2 · 3√2 = 14 + 6√2.
Pasul 2.b = 2(7 − 3√2) = 14 − 6√2.
Pasul 3. Media aritmetică: a + b2 = (14 + 6√2) + (14 − 6√2)2 = 282 = 14.
Pasul 4. Termenii cu radical se anulează, iar rezultatul este 14, valoarea obținută de Erika.
Pasul 5. Răspuns corect: a) Erika.
5pExercițiul 6
6. Andrei are 20 de ani și Răzvan, fratele lui, are 14 ani. Afirmația că în urmă cu 8 ani vârsta lui Andrei era de două ori mai mare decât vârsta lui Răzvan este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Acum 8 ani, Andrei avea 20 − 8 = 12 ani.
Pasul 2. Acum 8 ani, Răzvan avea 14 − 8 = 6 ani.
Pasul 3. Verificăm: 2 · 6 = 12, deci vârsta lui Andrei era într-adevăr dublul vârstei lui Răzvan.
Pasul 4. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C și D, în această ordine, astfel încât AC = 18 cm, AB = 15 cm și BD = 9 cm. Valoarea raportului BCCD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.BC = AC − AB = 18 − 15 = 3 cm (B se află între A și C).
Pasul 2.B, C, D sunt în această ordine, deci BD = BC + CD, iar CD = BD − BC = 9 − 3 = 6 cm.
Pasul 3. Raportul: BCCD = 36 = 12.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 12.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată unghiurile AOB, BOC, COD și DOA, formate în jurul punctului O, au măsurile indicate pe figură. Atunci măsura unghiului COD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din figură: ∢AOB = 3x − 15°, ∢BOC = 2x°, ∢COD = x − 5°, ∢DOA = x + 30°.
Pasul 2. Cele patru unghiuri formate în jurul punctului O acoperă tot planul, deci suma lor este 360°.
3. În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD cu măsura unghiului BAD de 30° și lungimea laturii AB egală cu 4 cm. Aria rombului ABCD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Aria unui romb este (latură)² · sin (unghi) = AB · AD · sin(∢BAD).
Pasul 2.AB = AD = 4 cm și sin 30° = 12, deci aria = 4 · 4 · 12 = 8 cm².
Pasul 3. (Altfel: înălțimea din D pe AB este DE; în triunghiul dreptunghic ADE cu ∢A = 30°, DE = AD : 2 = 2 cm; aria = AB · DE = 4 · 2 = 8 cm².)
Pasul 4. Răspuns corect: d) 8 cm².
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat un triunghi dreptunghic ABC cu AB ⊥ AC, AC = 4 cm și BC = 8 cm. Semidreapta CM este bisectoarea unghiului ACB, M ∈ AB. Distanța de la punctul M la dreapta BC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul dreptunghic ABC: cos C = AC : BC = 4 : 8 = 12, deci ∢ACB = 60°. (Sau: cateta AC este jumătate din ipotenuză.)
Pasul 2.CM este bisectoare, deci ∢ACM = ∢MCB = 30°.
Pasul 3. Punctul M se află pe bisectoarea unghiului C, deci este egal depărtat de laturile CA și CB: distanța de la M la BC este egală cu distanța de la M la CA, adică MA (căci MA ⊥ CA).
Pasul 4. În triunghiul dreptunghic CAM: MA = AC · tg 30° = 4 · √33 = 4√33 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 4√33 cm.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată sunt reprezentate două coarde perpendiculare AB și AC ale unui cerc de centru O. Măsura unghiului BCA este egală cu 30° și AB = 8 cm. Lungimea acestui cerc este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Coardele AB și AC sunt perpendiculare, deci ∢BAC = 90°. Un unghi înscris de 90° subîntinde un diametru, deci BC este diametru.
Pasul 2. În triunghiul dreptunghic ABC cu ∢C = 30°, cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: AB = BC : 2.
Pasul 3. Atunci BC = 2 · AB = 16 cm, deci diametrul este 16 cm și raza R = 8 cm.
6. În figura alăturată, VABC este o piramidă triunghiulară regulată cu baza ABC și fețele laterale triunghiuri dreptunghice în V. Dacă AB = 8 cm, atunci suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Piramida este regulată: baza ABC este triunghi echilateral cu latura 8 cm, iar muchiile laterale VA = VB = VC sunt egale; notăm VA = l.
Pasul 2. Fața laterală VAB este triunghi dreptunghic în V (cu catetele VA = VB = l) și ipotenuza AB = 8 cm.
Pasul 3. Din teorema lui Pitagora: l² + l² = 8², deci 2l² = 64, l² = 32 și l = √32 = 4√2 cm.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.