Pasul 2. Elementele lui A sunt doar numere întregi (x ∈ ℤ), deci −5,5 și −4,5 nu pot fi răspunsuri.
Pasul 3. Cel mai mic număr întreg mai mare sau egal cu −5,5 este −5.
Pasul 4. (Verificare: x = −5 ⇒ 2 · (−5) + 1 = −9 ≥ −10 ✔; x = −6 ⇒ −11 ≥ −10 este fals.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) −5.
5pExercițiul 4
4. Inversul numărului 0,25 este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. 0,25 = 25100 = 14.
Pasul 2. Inversul unui număr nenul a este 1a (produsul lor este 1). Inversul lui 14 este 4.
Pasul 3. (Opusul lui 0,25 este −0,25 = −14 – nu trebuie confundat cu inversul.)
Pasul 4. Răspuns corect: c) 4.
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Mihai, Maria, Ioana și Andrei calculează media aritmetică a numerelor a = 12 − 4√8 și b = 2(3 + √32). Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos.
Mihai
4√2
Maria
9
Ioana
8√2
Andrei
18
Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.√8 = 2√2, deci a = 12 − 4 · 2√2 = 12 − 8√2.
Pasul 2.√32 = 4√2, deci b = 2(3 + 4√2) = 6 + 8√2.
Pasul 3.a + b = 12 − 8√2 + 6 + 8√2 = 18 (radicalii se reduc).
Pasul 4. Media aritmetică = 18 : 2 = 9.
Pasul 5. Rezultatul 9 a fost obținut de Maria.
Pasul 6. (Verificare numerică: a ≈ 0,686; b ≈ 17,314; media ≈ 9.)
Pasul 7. Răspuns corect: b) Maria.
5pExercițiul 6
6. Afirmația: „Suma numerelor naturale din intervalul (−3, √3] este egală cu 0.” este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.√3 ≈ 1,73, deci intervalul (−3, √3] conține numerele cuprinse între −3 și 1,73 (fără −3).
Pasul 2. Numerele naturale din interval sunt doar 0 și 1 (numerele negative −2, −1 nu sunt naturale).
Pasul 3. Suma lor este 0 + 1 = 1, iar 1 ≠ 0.
Pasul 4. Afirmația este falsă.
Pasul 5. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, B și C, în această ordine. Punctul M este mijlocul segmentului AB și punctul N este mijlocul segmentului BC. Dacă AB = 4 cm și MC = 8 cm, atunci lungimea segmentului MN este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. M este mijlocul lui AB, deci MB = AB : 2 = 4 : 2 = 2 cm.
Pasul 2. MC = MB + BC, deci BC = 8 − 2 = 6 cm.
Pasul 3. N este mijlocul lui BC, deci BN = 6 : 2 = 3 cm.
Pasul 4. MN = MB + BN = 2 + 3 = 5 cm.
Pasul 5. (Altfel: MN = MC − NC = 8 − 3 = 5 cm.)
Pasul 6. Răspuns corect: c) 5 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente AOB și BOC. Semidreapta OD este opusă semidreptei OA. Dacă BOC este unghi drept și ∡AOB = ∡COD + 24°, atunci măsura unghiului AOB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. OA și OD sunt semidrepte opuse, deci ∡AOD = 180°: ∡AOB + ∡BOC + ∡COD = 180°.
Pasul 3. Notăm ∡COD = x. Atunci ∡AOB = x + 24° și (x + 24°) + x = 90°, adică 2x = 66°, x = 33°.
Pasul 4. ∡AOB = 33° + 24° = 57°.
Pasul 5. (Verificare: 57° + 90° + 33° = 180° ✔.)
Pasul 6. Răspuns corect: d) 57°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC. Punctul O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC și unghiul AOC este de 100°. Măsura unghiului ABC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, deci A, B, C sunt pe cerc; ∡AOC este unghi la centru, iar ∡ABC este unghi înscris care subîntinde același arc AC.
Pasul 2. Unghiul la centru are măsura egală cu a arcului pe care îl subîntinde: arcul mic AC = 100°.
Pasul 3. Unghiul înscris are jumătate din măsura arcului pe care îl subîntinde: ∡ABC = 100° : 2 = 50°.
Pasul 4. (În figură O este în interiorul triunghiului, deci B se află pe arcul mare AC, iar triunghiul este ascuțitunghic.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) 50°.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat rombul ABCD, cu AB = 10 cm și ∡ABC = 150°. Aria rombului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Într-un romb, unghiurile alăturate sunt suplimentare: ∡BAD = 180° − 150° = 30°.
Pasul 2. Ducem înălțimea din D pe latura AB: DE ⊥ AB. În triunghiul dreptunghic ADE, unghiul A are 30°, iar ipotenuza AD = 10 cm; cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: DE = 10 : 2 = 5 cm.
Pasul 3. Aria rombului = latura · înălțimea = AB · DE = 10 · 5 = 50 cm2.
Pasul 4. (Cu sinus: aria = AB · AD · sin 30° = 10 · 10 · 12 = 50 cm2.)
Pasul 5. Răspuns corect: a) 50 cm2.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A, B, C și D se află pe cerc, în această ordine, astfel încât arcele AC și BD sunt congruente. Măsura arcului AC este egală cu 100° și măsura arcului CD este egală cu 60°. Dacă AC ∩ BD = {M}, atunci măsura unghiului AMB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci arcul AC = arcul AB + arcul BC = 100° și arcul BD = arcul BC + arcul CD = 100°.
Pasul 2. Din a doua relație: arcul BC = 100° − 60° = 40°. Din prima: arcul AB = 100° − 40° = 60°.
Pasul 3. M este intersecția a două coarde (în interiorul cercului): unghiul AMB are măsura egală cu jumătate din suma arcelor determinate de unghi și de unghiul opus la vârf: arcul AB și arcul CD.
Pasul 5. (Verificare: arcele AB + BC + CD + DA = 60° + 40° + 60° + 200° = 360°.)
Pasul 6. Răspuns corect: b) 60°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ cu baza pătratul ABCD. Dacă AB = 8 cm și AA′ = 6 cm, atunci suma lungimilor tuturor muchiilor prismei este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Prisma are 12 muchii: 8 muchii ale celor două baze (pătrate de latură 8 cm) și 4 muchii laterale (de 6 cm).
Pasul 2. Muchiile bazelor: 8 · 8 = 64 cm.
Pasul 3. Muchiile laterale: 4 · 6 = 24 cm.
Pasul 4. Suma: 64 + 24 = 88 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 88 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.