Pasul 2. 0,(6) = 69 = 23 (o perioadă de o cifră se împarte la 9).
Pasul 3. Media geometrică a numerelor a și b este √a · b. Produsul: 83 · 23 = 169.
Pasul 4. Media geometrică este √169 = √16√9 = 43.
Pasul 5. Valoarea 43 apare în tabel la Edi. (Atenție: 169 este chiar produsul, nu media geometrică, deci Emil a greșit.)
Pasul 6. Răspuns corect: a) Edi.
5pExercițiul 6
6. Mihai pleacă de acasă la ora 11:25, ajunge la Vlad în 15 minute și, după 5 minute, cei doi copii pleacă la școală. Drumul până la școală durează 10 minute. Afirmația că băieții au ajuns la școală la ora 11:50 este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Mihai ajunge la Vlad la 11:25 + 15 minute = 11:40.
Pasul 2. După 5 minute (stau împreună) pleacă la școală: 11:40 + 5 minute = 11:45.
Pasul 3. Drumul până la școală durează 10 minute, deci ajung la 11:45 + 10 minute = 11:55.
Pasul 4. Au ajuns la 11:55, nu la 11:50 (în total 15 + 5 + 10 = 30 de minute, iar 11:25 + 30 min = 11:55). Afirmația este falsă.
Pasul 5. Răspuns corect: b) Falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C și D. Lungimea segmentului AB este egală cu 2 cm, lungimea segmentului BC este jumătate din lungimea segmentului AB și punctul C este mijlocul segmentului AD. Lungimea segmentului BD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.AB = 2 cm, iar BC este jumătate din AB: BC = 2 : 2 = 1 cm.
Pasul 2. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci AC = AB + BC = 2 + 1 = 3 cm.
Pasul 3.C este mijlocul lui AD, deci CD = AC = 3 cm (și AD = 6 cm).
Pasul 4.BD = BC + CD = 1 + 3 = 4 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 4 cm.
5pExercițiul 2
2. Dreptele paralele a și b sunt intersectate de secanta c. Măsura unghiului x este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În figură, unghiul 3x + 15° este deasupra dreptei a, în stânga secantei, iar unghiul 2x − 15° este deasupra dreptei b, în dreapta secantei. Corespondentul lui 3x + 15° pe dreapta b (drepte paralele) este deci adiacent cu unghiul 2x − 15°, iar cele două unghiuri formează împreună un unghi alungit.
Pasul 2. Așadar cele două unghiuri sunt suplimentare: suma lor este 180°.
Pasul 5. (Verificare: 3 · 36° + 15° = 123°, 2 · 36° − 15° = 57°, iar 123° + 57° = 180° ✓. Dacă unghiurile ar fi egale, am fi obținut 3x + 15 = 2x − 15, adică x = −30, imposibil.)
Pasul 6. Răspuns corect: a) 36°.
5pExercițiul 3
3. Triunghiul dreptunghic ABC are cateta AB = 2√3 cm și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei AD = 3 cm. Unghiul DAC are măsura egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar AD ⊥ BC. În triunghiul dreptunghic ADB (cu unghi drept în D): sin B = ADAB = 32√3 = √32.
Pasul 2. Deci B = 60° (sin 60° = √32).
Pasul 3. În triunghiul dreptunghic ABC, unghiurile ascuțite sunt complementare: C = 90° − 60° = 30°.
Pasul 5. (Altfel: ∢DAC = ∢B = 60°, fiind unghiuri cu laturile perpendiculare.)
Pasul 6. Răspuns corect: d) 60°.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat un paralelogram ABCD. Dacă punctul E este situat pe dreapta BC, astfel încât lungimea segmentului CE este jumătate din lungimea segmentului BC, atunci raportul dintre aria triunghiului DCE și aria patrulaterului ABED este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Fie h distanța de la D la dreapta BC (înălțimea paralelogramului corespunzătoare laturii BC). Aria paralelogramului este S = BC · h.
Pasul 2. Triunghiul DCE are baza CE = BC2 și înălțimea h (din D pe BC), deci aria lui este 12 · BC2 · h = BC · h4 = S4.
Pasul 3. Din figură, E este pe prelungirea lui BC dincolo de C, iar patrulaterul ABED este format din paralelogramul ABCD și triunghiul DCE: aria ABED = S + S4 = 5S4.
Pasul 4. Raportul cerut: S/45S/4 = 15.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 15.
5pExercițiul 5
5. Punctele A, B și C aparțin cercului de centru O și rază egală cu 4 cm, astfel încât măsura unghiului ACB este egală cu 45°. Lungimea segmentului AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiul ACB este unghi înscris în cerc și subîntinde coarda AB; măsura arcului AB este dublul lui: 2 · 45° = 90°.
Pasul 2. Deci unghiul la centru ∢AOB = 90°.
Pasul 3. Triunghiul AOB este dreptunghic isoscel (OA = OB = 4 cm), cu catetele de 4 cm.
Pasul 4. Teorema lui Pitagora: AB2 = 42 + 42 = 32, deci AB = √32 = 4√2 cm.
Pasul 5. (Altfel, cu teorema sinusurilor: AB = 2R · sin 45° = 8 · √22 = 4√2.)
Pasul 6. Răspuns corect: c) 4√2 cm.
5pExercițiul 6
6. Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este dreptunghiul ABCD, cu aria egală cu 48 cm2. Dacă generatoarea cilindrului este egală cu 6 cm, atunci raza cercului de la bază este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Secțiunea axială este un dreptunghi cu o latură egală cu generatoarea G = 6 cm și cealaltă latură egală cu diametrul bazei, 2R.
Pasul 2. Aria dreptunghiului: 2R · G = 48, deci 2R · 6 = 48.
Pasul 3. 2R = 48 : 6 = 8 cm, deci R = 8 : 2 = 4 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 4 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.