3. În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate la ora 9, la o stație meteo, în fiecare zi a unei săptămâni din luna ianuarie.
Ziua
Temperatura (°C)
Luni
−5
Marți
−4
Miercuri
3
Joi
1
Vineri
−1
Sâmbătă
−3
Duminică
2
Conform tabelului, media aritmetică a temperaturilor pozitive înregistrate este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Temperaturile pozitive (strict mai mari decât 0) sunt: 3 °C (miercuri), 1 °C (joi) și 2 °C (duminică). Celelalte (−5, −4, −1, −3) sunt negative.
Pasul 2. Suma lor: 3 + 1 + 2 = 6.
Pasul 3. Sunt 3 valori, deci media aritmetică este 6 : 3 = 2 °C.
Pasul 4. Răspuns corect: d) 2 °C.
5pExercițiul 4
4. Numărul 3√2 aparține intervalului de numere reale:
Pasul 4. Media geometrică: √81 = 9. (81 este chiar produsul, nu media geometrică.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) Crina.
5pExercițiul 6
6. Sebastian are 180 de lei, iar Adrian, colegul lui, are 120 de lei. Adrian afirmă: „Dacă i-aș da lui Sebastian o șesime din banii mei, atunci suma mea de bani ar fi jumătate din suma lui”. Afirmația lui Adrian este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. O șesime din banii lui Adrian: 120 : 6 = 20 lei.
Pasul 2. După ce îi dă 20 lei lui Sebastian, Adrian are 120 − 20 = 100 lei, iar Sebastian are 180 + 20 = 200 lei.
Pasul 3. Jumătate din suma lui Sebastian este 200 : 2 = 100 lei, exact cât are Adrian.
Pasul 4. Deci afirmația lui Adrian este adevărată.
Pasul 5. Răspuns corect: a) Adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată, A, B, C și D sunt puncte coliniare, în această ordine, astfel încât B este mijlocul segmentului AC, 2BC = CD și BD = 9 cm. Lungimea segmentului AD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm BC = x. Atunci CD = 2BC = 2x.
Pasul 2. Punctele sunt în ordinea B, C, D, deci BD = BC + CD = x + 2x = 3x. Cum BD = 9 cm, obținem 3x = 9, deci x = 3 cm.
Pasul 3.B este mijlocul lui AC, deci AB = BC = 3 cm. De asemenea CD = 2 · 3 = 6 cm.
Pasul 4.AD = AB + BC + CD = 3 + 3 + 6 = 12 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 12 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele AB și CD, iar unghiurile BAC și DCA au măsurile indicate pe figură. Atunci măsura unghiului ACD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiurile BAC = 4x − 10° și DCA = x + 30° sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei AC (ambele între drepte, de partea dreaptă a lui AC).
Pasul 2. Pentru drepte paralele, unghiurile interne de aceeași parte sunt suplimentare: (4x − 10°) + (x + 30°) = 180°.
Pasul 3. 5x + 20° = 180°, deci 5x = 160°, adică x = 32°.
Pasul 4. Atenție: x = 32° nu este răspunsul cerut. Unghiul ACD = x + 30° = 32° + 30° = 62°.
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu AB = AC = 6 cm și cu măsura unghiului ABC egală cu 15°. Distanța de la punctul B la dreapta AC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul este isoscel (AB = AC), deci ∢C = ∢B = 15°, iar ∢BAC = 180° − 15° − 15° = 150°.
Pasul 2. Distanța de la B la dreapta AC este lungimea perpendicularei BH duse din B pe dreapta AC. Deoarece unghiul A este obtuz, piciorul H se află pe prelungirea laturii CA, dincolo de A.
Pasul 3. Unghiul BAH = 180° − 150° = 30°. În triunghiul dreptunghic BHA, cateta BH se opune unghiului de 30°, deci este jumătate din ipotenuza AB.
Pasul 4.BH = AB : 2 = 6 : 2 = 3 cm.
Pasul 5. (Verificare cu aria: aria = ½ · AB · AC · sin 150° = ½ · 6 · 6 · ½ = 9, iar ½ · AC · BH = 9 ⇒ BH = 3 cm.)
Pasul 6. Răspuns corect: a) 3 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD, cu AB = 10 cm, AD = 6 cm și cu măsura unghiului DAB egală cu 60°. Aria paralelogramului ABCD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Ducem înălțimea DE din D pe AB. În triunghiul dreptunghic AED, unghiul A = 60°, deci ∢ADE = 30° și AE = AD : 2 = 3 cm.
Pasul 2. Din teorema lui Pitagora: DE2 = 62 − 32 = 27, deci DE = 3√3 cm (sau DE = AD · sin 60° = 6 · √32 = 3√3).
Pasul 3. Aria paralelogramului = baza · înălțimea = AB · DE = 10 · 3√3 = 30√3 cm2.
Pasul 4. (Sau: aria = AB · AD · sin 60° = 10 · 6 · √32 = 30√3.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) 30√3 cm2.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată sunt reprezentate două coarde perpendiculare AB și AC ale unui cerc de centru O, AB = 6 cm și AC = 8 cm. Lungimea acestui cerc este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Coardele AB și AC sunt perpendiculare, deci ∢BAC = 90°. Un unghi înscris în cerc de 90° subîntinde un diametru, deci BC este diametru.
Pasul 2. În triunghiul dreptunghic ABC, din teorema lui Pitagora: BC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100, deci BC = 10 cm.
Pasul 3. Diametrul este 10 cm, deci raza R = 5 cm.
6. În figura alăturată, VABC este o piramidă triunghiulară regulată cu baza ABC. Dacă triunghiul VAB este echilateral și MN = 4 cm, unde M este mijlocul lui AC și N este mijlocul lui BC, atunci suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.MN unește mijloacele laturilor AC și BC ale triunghiului ABC, deci MN este linie mijlocie: MN = AB : 2.
Pasul 2. Din MN = 4 cm obținem AB = 2 · 4 = 8 cm.
Pasul 3. Baza ABC este triunghi echilateral (piramidă regulată), deci AB = BC = CA = 8 cm. Triunghiul VAB este echilateral, deci VA = VB = 8 cm, iar în piramida regulată și VC = 8 cm.
Pasul 4. Piramida are 6 muchii, toate egale cu 8 cm: 6 · 8 = 48 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 48 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
