Pasul 3. (Atenție: 252 = 12,5 este media aritmetică, nu cea geometrică.)
Pasul 4. Răspuns corect: b) 12.
5pExercițiul 5
5. Patru elevi au scris în ordine crescătoare numerele: a = 1,(35); b = 1,3(5); c = 1,35; d = 1,353. Rezultatele obținute sunt prezentate în următorul tabel:
Ana
Sorin
Matei
Laura
a<b<c<d
c<d<a<b
a<c<b<d
b<c<a<d
Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Scriem numerele cu mai multe zecimale, ca să le comparăm:
Pasul 2.a = 1,(35) = 1,353535…; b = 1,3(5) = 1,35555…; c = 1,35 = 1,350000…; d = 1,353 = 1,353000…
Pasul 3. Comparăm zecimală cu zecimală: toate încep cu 1,35…; la a treia zecimală avem: c → 0, d → 3, a → 3, b → 5.
Pasul 4.c este cel mai mic (0). Între d = 1,3530… și a = 1,3535… decide a patra zecimală: 0 < 5, deci d < a. Cel mai mare este b (5 la a treia zecimală).
Pasul 5. Ordinea crescătoare: c < d < a < b, exact cum a scris Sorin.
Pasul 6. Răspuns corect: b) Sorin.
5pExercițiul 6
6. Mihai afirmă: „35 din 280 kg reprezintă 168 kg”. Afirmația lui Mihai este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Calculăm 35 din 280: 280 : 5 = 56, apoi 56 · 3 = 168.
Pasul 2. (Sau 35 · 280 = 8405 = 168.)
Pasul 3. Rezultatul este 168 kg, exact cât afirmă Mihai, deci afirmația este adevărată.
Pasul 4. Răspuns corect: a) Adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată, punctul M este mijlocul segmentului AB și punctul N este mijlocul segmentului BC. Dacă MN = 12 cm, atunci lungimea segmentului AC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctele sunt în ordinea A, M, B, N, C, deci MN = MB + BN.
Pasul 2.M este mijlocul lui AB: MB = AB2. N este mijlocul lui BC: BN = BC2.
Pasul 3.MN = AB + BC2 = AC2 (pentru că AB + BC = AC).
Pasul 4. Deci AC = 2 · MN = 2 · 12 = 24 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 24 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, punctele A, O, D sunt coliniare, semidreapta OE este bisectoarea unghiului AOB, iar semidreapta OF este bisectoarea unghiului BOD. Măsura unghiului EOF este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Punctele A, O, D sunt coliniare, iar O este între A și D, deci unghiurile AOB și BOD sunt adiacente suplimentare: ∢AOB + ∢BOD = 180°.
Pasul 2. Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: ∢EOB = ∢AOB : 2 și ∢BOF = ∢BOD : 2.
Pasul 3. Semidreapta OB este între OE și OF, deci ∢EOF = ∢EOB + ∢BOF = (∢AOB + ∢BOD) : 2.
Pasul 4. ∢EOF = 180° : 2 = 90°.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 90°.
5pExercițiul 3
3. În triunghiul ABC din figura alăturată, punctele M și N se află pe laturile AB, respectiv AC, astfel încât AM = 4 cm, AB = 12 cm, ANAC = 13. Dacă BC = 24 cm, atunci lungimea segmentului MN este egală cu:
Pasul 2. Avem AMAB = ANAC = 13, deci, conform reciprocei teoremei lui Thales, MN ∥ BC.
Pasul 3. Din teorema fundamentală a asemănării, ΔAMN ~ ΔABC, iar MNBC = 13.
Pasul 4.MN = 24 : 3 = 8 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 8 cm.
5pExercițiul 4
4. Pe cercul C(O; R) din figura alăturată, R = 8 cm, se consideră punctele A și B astfel încât măsura arcului mic AB este egală cu 60°. Aria triunghiului AOB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiul la centru ∢AOB are aceeași măsură ca arcul mic AB, adică 60°.
Pasul 2. Triunghiul AOB este isoscel (OA = OB = R = 8 cm) și are un unghi de 60°, deci este echilateral cu latura 8 cm.
Pasul 3. Aria unui triunghi echilateral de latură l este l2√34 = 82 · √34 = 64√34 = 16√3 cm2.
Pasul 4. (Verificare cu formula 12 · R2 · sin 60° = 12 · 64 · √32 = 16√3.)
Pasul 5. Răspuns corect: a) 16√3 cm2.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată, triunghiul ABC este isoscel cu AB = AC = 13 cm și BC = 10 cm. Medianele AD și BE se intersectează în punctul G. Lungimea segmentului GD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABC este isoscel, deci mediana AD este și înălțime: AD ⊥ BC, iar BD = BC : 2 = 5 cm.
Pasul 2. În triunghiul dreptunghic ADB, din teorema lui Pitagora: AD2 = AB2 − BD2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144, deci AD = 12 cm.
Pasul 3.G este intersecția medianelor, deci centrul de greutate: se află la o treime de bază, adică GD = AD3.
Pasul 4.GD = 12 : 3 = 4 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 4 cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată, VABCD este o piramidă patrulateră regulată cu vârful în V și VA = AB = 8 cm. Măsura unghiului dintre dreptele VA și BC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Baza ABCD este pătrat, deci BC ∥ AD. Unghiul dintre dreptele VA și BC este egal cu unghiul dintre VA și AD, adică ∢VAD.
Pasul 2. Piramida este regulată, deci muchiile laterale sunt egale: VA = VD = 8 cm; în plus AD = AB = 8 cm.
Pasul 3. Triunghiul VAD are toate laturile egale cu 8 cm, deci este echilateral și ∢VAD = 60°.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 60°.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.