Pasul 3. Numerele întregi mai mari decât −3√5 ≈ −6,708 sunt −6, −5, −4, … Cel mai mic dintre ele este −6.
Pasul 4. (−7 este mai mic decât −3√5, deci nu este mai mare decât el.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) −6.
5pExercițiul 4
4. Dintre numerele 0,126; 0,12(6); 0,(126); 0,1(26) cel mai mic este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Scriem numerele cu mai multe zecimale: 0,126 = 0,126000…; 0,12(6) = 0,126666…; 0,(126) = 0,126126…; 0,1(26) = 0,126262…
Pasul 2. Toate încep cu 0,126. Comparăm următoarele zecimale: 0, 6, 1, 2.
Pasul 3. Cea mai mică este 0 (la 0,126000…), deci 0,126 < 0,126126… < 0,126262… < 0,126666…
Pasul 4. Răspuns corect: a) 0,126.
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Dan, Marius, Ion, George au calculat media geometrică a numerelor a = 6 − 2√3 și b = 6 + 2√3. Conform indicațiilor din tabel, dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este:
Dan
+2√3
Marius
+6
Ion
+24
George
+2√6
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Media geometrică a numerelor a și b este √a · b.
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura următoare se dă segmentul cu AM = 4 cm, unde M este mijlocul lui AB. Dacă C este simetricul lui A față de B, atunci lungimea segmentului AC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. M este mijlocul lui AB, deci AB = 2 · AM = 2 · 4 = 8 cm.
Pasul 2. C este simetricul lui A față de B, deci B este mijlocul lui AC: AC = 2 · AB = 2 · 8 = 16 cm.
Pasul 3. Răspuns corect: d) 16 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată se dau unghiurile adiacente complementare ∡AOB și ∡BOC cu măsura ∡BOC = 40°. Dacă OM este bisectoarea ∡BOA, atunci măsura ∡MOC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiurile ∡AOB și ∡BOC sunt complementare: ∡AOB + ∡BOC = 90°, deci ∡AOB = 90° − 40° = 50°.
Pasul 2. OM este bisectoarea lui ∡BOA: ∡MOB = 50° : 2 = 25°.
Pasul 3. Semidreapta OB este între OM și OC, deci ∡MOC = ∡MOB + ∡BOC = 25° + 40° = 65°.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 65°.
5pExercițiul 3
3. Figura alăturată reprezintă schema unui loc de joacă, sub forma unui triunghi isoscel ABC, de bază BC și D mijlocul laturii BC. Dacă AC = 10 m și AD = 6 m, atunci suprafața locului de joacă este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul isoscel ABC (AB = AC), mediana AD este și înălțime: AD ⊥ BC.
Pasul 2. În triunghiul dreptunghic ADC: DC2 = AC2 − AD2 = 100 − 36 = 64 ⇒ DC = 8 m.
Pasul 3. D este mijlocul lui BC, deci BC = 2 · 8 = 16 m.
Pasul 4. Aria = BC · AD2 = 16 · 62 = 48 m2.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 48 m2.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel ABCD cu AB ∥ CD. Dacă CD = AD = 4 cm și AB = 8 cm, atunci măsura unghiului ABC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Ducem înălțimile DE și CF pe AB (E, F ∈ AB). Patrulaterul DCFE este dreptunghi, deci EF = DC = 4 cm.
Pasul 2. Trapezul este isoscel, deci triunghiurile AED și BFC sunt congruente: AE = BF = (8 − 4) : 2 = 2 cm.
Pasul 3. În triunghiul dreptunghic BFC (dreptunghic în F): BC = AD = 4 cm și BF = 2 cm, deci cateta BF este jumătate din ipotenuza BC.
Pasul 4. Cateta care este jumătate din ipotenuză se opune unghiului de 30°, deci ∡BCF = 30°.
Pasul 5. Unghiurile ascuțite ale triunghiului BFC sunt complementare: ∡ABC = ∡FBC = 90° − 30° = 60°.
Pasul 6. (Verificare: cos ∡B = BFBC = 24 = 12, deci ∡B = 60°.)
Pasul 7. Răspuns corect: b) 60°.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC înscris în cercul de centru O și rază 10 cm. Dacă BC = 20 cm și AC = 10 cm, atunci perimetrul triunghiului ABC este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Raza este 10 cm, deci diametrul este 20 cm = BC. Atunci BC este diametru și O este mijlocul lui BC.
Pasul 2. Unghiul înscris în semicerc este drept: ∡BAC = 90°. Triunghiul ABC este dreptunghic în A.
Pasul 3. Teorema lui Pitagora: AB2 = BC2 − AC2 = 400 − 100 = 300 ⇒ AB = √300 = 10√3 cm.
Pasul 4. Perimetrul = AB + BC + AC = 10√3 + 20 + 10 = (30 + 10√3) cm.
Pasul 5. Răspuns corect: b) (30 + 10√3) cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat un cub ABCDA′B′C′D′. Măsura unghiului dintre dreptele BC′ și DD′ este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Muchiile DD′ și BB′ sunt paralele (muchii laterale ale cubului). Unghiul dreptelor BC′ și DD′ este deci egal cu unghiul dreptelor BC′ și BB′, adică ∡B′BC′.
Pasul 2. Fața BB′C′C este un pătrat, iar BC′ este diagonala ei; B′BC′ este triunghi dreptunghic isoscel în B′ (BB′ = B′C′).
Pasul 3. Atunci ∡B′BC′ = 45°.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 45°.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.