Pasul 3. (Altfel: prețul este 100% − 25% = 75% din 200 = 75100 · 200 = 150 lei.)
Pasul 4. Răspuns corect: a) 150 de lei.
5pExercițiul 4
4. Cel mai mic număr întreg mai mare decât 2√3 este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Încadrăm numărul între două pătrate perfecte: 2√3 = √12, iar √9 < √12 < √16, adică 3 < 2√3 < 4.
Pasul 2. (Aproximativ 2√3 ≈ 3,46.)
Pasul 3. Numerele întregi mai mari decât 3,46 sunt 4, 5, 6, …
Pasul 4. Cel mai mic dintre ele este 4.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 4.
5pExercițiul 5
5. Patru elevi au calculat valoarea raportului ab, unde a = √8 + √32 − √50, b = √18 + √50 − √72. Rezultatele obținute sunt trecute în tabelul de mai jos:
Andrei
Barbu
Cristina
Dana
0,5
0,4
1
2
Dintre cei patru elevi, a răspuns corect:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Scoatem factorii de sub radical: √8 = 2√2, √32 = 4√2, √50 = 5√2.
Pasul 2.a = 2√2 + 4√2 − 5√2 = √2.
Pasul 3. La fel: √18 = 3√2, √50 = 5√2, √72 = 6√2, deci b = 3√2 + 5√2 − 6√2 = 2√2.
Pasul 4. Raportul: ab = √22√2 = 12 = 0,5.
Pasul 5. Valoarea 0,5 a fost obținută de Andrei.
Pasul 6. Răspuns corect: a) Andrei.
5pExercițiul 6
6. Maria afirmă că cel mai mare număr din mulțimea A = {2√3; 5√2; 7√3; 2√11} este 5√2. Afirmația făcută de Maria este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Introducem factorii sub radical, ca să putem compara numerele (toate sunt pozitive):
Pasul 3. Comparăm numerele de sub radical: 12 < 44 < 50 < 147.
Pasul 4. Cel mai mare număr este √147 = 7√3, nu 5√2.
Pasul 5. Deci afirmația Mariei este falsă.
Pasul 6. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată punctele A, B, C, D sunt coliniare în această ordine, astfel încât punctul C este simetricul lui A față de B, iar punctul D este simetricul lui A față de C. Valoarea raportului ABAD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. C este simetricul lui A față de B ⇒ B este mijlocul lui AC ⇒ AC = 2 · AB.
Pasul 2. D este simetricul lui A față de C ⇒ C este mijlocul lui AD ⇒ AD = 2 · AC = 2 · 2 · AB = 4 · AB.
Pasul 3. Raportul: ABAD = AB4 · AB = 14 = 0,25.
Pasul 4. (Figura nu este făcută la scară; contează doar informațiile din enunț.)
Pasul 5. Răspuns corect: d) 0,25.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată unghiurile ∡AOB și ∡BOC sunt adiacente complementare, iar semidreapta OD este bisectoarea ∡BOC. Dacă ∡DOB are măsura de 40°, atunci ∡AOB are măsura egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. OD este bisectoarea ∡BOC, deci ∡BOC = 2 · ∡DOB = 2 · 40° = 80°.
Pasul 2. Unghiurile ∡AOB și ∡BOC sunt complementare: suma lor este 90° (în figură, ∡AOC este unghi drept).
Pasul 3. ∡AOB = 90° − ∡BOC = 90° − 80° = 10°.
Pasul 4. Răspuns corect: d) 10°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele a și b. Punctele A și E aparțin dreptei a, iar punctele B și C aparțin dreptei b. Dacă ∡EAM = 40° și ∡CBM = 80°, atunci ∡AMB are măsura de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Ducem prin M o paralelă la dreptele a și b (notăm cu Q un punct al ei, în stânga lui M). Atunci MQ ∥ a ∥ b.
Pasul 2. MQ ∥ AE și AM este secantă ⇒ ∡AMQ = ∡EAM = 40° (unghiuri alterne interne).
Pasul 3. MQ ∥ BC și BM este secantă ⇒ ∡BMQ = ∡CBM = 80° (unghiuri alterne interne).
Pasul 4. Semidreapta MQ este între MA și MB, deci ∡AMB = ∡AMQ + ∡QMB = 40° + 80° = 120°.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 120°.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată, ABCD este un paralelogram, punctul M este mijlocul segmentului AB. Dacă aria triunghiului ACM este egală cu 20 cm2, atunci aria paralelogramului ABCD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. M este mijlocul lui AB, deci CM este mediană în triunghiul ABC și îl împarte în două triunghiuri cu arii egale (ACM și MBC, cu baze AM = MB și aceeași înălțime din C).
Pasul 3. Diagonala AC împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente (ABC și CDA), deci aria ABCD = 2 · aria ABC.
Pasul 4. Aria ABCD = 2 · 40 = 80 cm2.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 80 cm2.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și raza egală cu 8 cm. Punctele A, B și C aparțin cercului, AC este diametru, iar măsura unghiului ∡BAC = 30°. Lungimea coardei BC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. AC este diametru, deci AC = 2 · 8 = 16 cm.
Pasul 2. Unghiul ∡ABC este înscris în semicerc (cuprinde diametrul AC), deci ∡ABC = 90° și triunghiul ABC este dreptunghic în B.
Pasul 3. Cateta BC se opune unghiului de 30° (∡BAC), deci BC este jumătate din ipotenuza AC: BC = 16 : 2 = 8 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 8 cm.
5pExercițiul 6
6. Trapezul ABCD are baza mare egală cu diagonala AC și AD = DC = CB. Măsura unghiului ∡ABC este egală cu: Bazele trapezului sunt AB și CD, cu AB ∥ CD și AB > CD.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm ∡ABC = x. Trapezul are laturile neparalele AD și CB congruente, deci este isoscel: ∡DAB = ∡ABC = x.
Pasul 2. AB = AC, deci triunghiul ABC este isoscel: ∡ACB = ∡ABC = x, iar ∡BAC = 180° − 2x.
Pasul 3. Triunghiul ADC este isoscel (DA = DC): ∡DAC = ∡DCA. Cum DC ∥ AB, ∡DCA = ∡CAB = 180° − 2x (unghiuri alterne interne). Deci ∡DAC = 180° − 2x.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.