Pasul 1. Respectăm ordinea operațiilor: mai întâi împărțirea, apoi scăderea.
Pasul 2. 100 : 5 = 20.
Pasul 3. 25 − 20 = 5.
Pasul 4. Atenție: dacă am scădea întâi (25 − 100) : 5 am obține −15, dar acest calcul nu respectă ordinea operațiilor.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 5.
5pExercițiul 2
2. Dacă a5 = 23, atunci 3a − 4 este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din proporția a5 = 23 aplicăm regula produsului mezilor egal cu produsul extremilor: 3 · a = 5 · 2.
Pasul 2. Deci 3a = 10 (nu este nevoie să aflăm separat pe a).
Pasul 3. Atunci 3a − 4 = 10 − 4 = 6.
Pasul 4. (Verificare: a = 103, iar 3 · 103 − 4 = 10 − 4 = 6.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) 6.
5pExercițiul 3
3. La o stație meteo, temperatura înregistrată dimineața a fost −3°C, iar temperatura înregistrată la prânz a fost +5°C. Temperatura înregistrată la prânz este mai mare decât temperatura înregistrată dimineața cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Diferența dintre cele două temperaturi: (temperatura de la prânz) − (temperatura de dimineață).
Pasul 2. 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.
Pasul 3. Pe axa numerelor, de la −3 până la 5 sunt 3 unități până la 0 și încă 5 de la 0 la 5, adică 8 unități.
5. Patru elevi, Ana, Bogdan, Corina și Dan calculează media aritmetică a numerelor reale a = 4√3 și b = 6. Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Ana
Bogdan
Corina
Dan
2√3 + 6
5√3
3 + 4√3
3 + 2√3
Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Media aritmetică a numerelor a și b este a + b2.
Pasul 2.a + b = 4√3 + 6.
Pasul 3.4√3 + 62 = 4√32 + 62 = 2√3 + 3 (împărțim fiecare termen la 2).
Pasul 4. Rezultatul 3 + 2√3 este cel obținut de Dan. (Ana a împărțit doar pe 4√3 la 2, dar nu și pe 6; Corina nu a împărțit pe 4√3.)
Pasul 5. Răspuns corect: d) Dan.
5pExercițiul 6
6. În diagrama alăturată sunt prezentate informații referitoare la numărul elevilor de la un club sportiv și la vârstele acestora. Afirmația „Conform informațiilor din diagramă numărul elevilor de la clubul sportiv care au vârsta de cel mult 8 ani este egal cu 280” este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Citim din diagramă numărul de elevi pentru fiecare vârstă: 6 ani – 60; 7 ani – 100; 8 ani – 120; 9 ani – 60; 10 ani – 80.
Pasul 2. „Cel mult 8 ani” înseamnă 6, 7 sau 8 ani (inclusiv 8 ani).
Pasul 3. Numărul elevilor: 60 + 100 + 120 = 280.
Pasul 4. Valoarea obținută este chiar 280, deci afirmația este adevărată.
Pasul 5. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, AB = BD = 12 cm, iar D este simetricul punctului B față de punctul C. Lungimea segmentului AC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. D este simetricul lui B față de C ⇒ C este mijlocul segmentului BD.
Pasul 2. BC = BD : 2 = 12 : 2 = 6 cm.
Pasul 3. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci AC = AB + BC = 12 + 6 = 18 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 18 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, punctele A, O și B sunt coliniare, ∡AOC = 2 · ∡BOE, ∡AOC = 40° și OD este bisectoarea unghiului COE. Măsura unghiului BOD este egală cu: O se află între A și B, iar OC, OD și OE se află în același semiplan, în această ordine, între OA și OB.
Pasul 2. A, O, B sunt coliniare ⇒ ∡AOB = 180° (unghi alungit). Unghiurile AOC, COE și EOB acoperă acest unghi alungit, deci ∡COE = 180° − 40° − 20° = 120°.
Pasul 3. OD este bisectoarea lui ∡COE ⇒ ∡EOD = ∡COD = 120° : 2 = 60°.
Pasul 4. ∡BOD = ∡BOE + ∡EOD = 20° + 60° = 80°.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 80°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic, ∡BAC = 90°. Punctul M este mijlocul laturii BC, AB = 6 cm și AC = 8 cm. Perimetrul triunghiului AMC este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Teorema lui Pitagora în triunghiul ABC (ipotenuza BC): BC2 = AB2 + AC2 = 36 + 64 = 100 ⇒ BC = 10 cm.
Pasul 2. M este mijlocul ipotenuzei, deci MC = BC : 2 = 5 cm.
Pasul 3. În triunghiul dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: AM = BC : 2 = 5 cm.
Pasul 4. Perimetrul triunghiului AMC: AM + MC + AC = 5 + 5 + 8 = 18 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 18 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD. Măsura unghiului BAD este egală cu 45°, iar BD = BC = 8 cm. Lungimea segmentului AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Într-un paralelogram laturile opuse sunt congruente: AD = BC = 8 cm.
Pasul 2. Atunci în triunghiul ABD avem BD = AD = 8 cm, deci este isoscel cu baza AB, iar ∡ABD = ∡BAD = 45°.
Pasul 3. Suma unghiurilor: ∡ADB = 180° − 45° − 45° = 90°. Triunghiul ABD este dreptunghic isoscel (cu cateta AD = BD = 8 cm).
Pasul 4. Ipotenuza AB se află cu Pitagora: AB2 = 82 + 82 = 128 ⇒ AB = √128 = 8√2 cm (diagonala pătratului de latură 8).
Pasul 5. Răspuns corect: c) 8√2 cm.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată, pe cercul de centru O, sunt reprezentate punctele A, B, C, D, iar coardele AB și CD sunt paralele. Măsura arcului mic DC este de 60°, iar măsura arcului mic BC este 80°. Măsura unghiului ADC este egală cu: Punctele sunt situate pe cerc în ordinea A, B, C, D.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Coardele paralele AB și CD determină între ele arce congruente: arcul AD = arcul BC = 80°.
Pasul 2. Cele patru arce determinate de punctele A, D, C, B sunt: AD = 80°, DC = 60°, CB = 80°, iar BA = 360° − (80° + 60° + 80°) = 140°.
Pasul 3. ∡ADC este unghi înscris în cerc; el cuprinde arcul ABC (cel care nu conține punctul D): arcul AB + arcul BC = 140° + 80° = 220°.
Pasul 4. Măsura unghiului înscris este jumătate din arcul cuprins: ∡ADC = 220° : 2 = 110°.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 110°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu AD = 7 cm și ∡ABD = 30°. Lungimea segmentului AC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABD este dreptunghic în A (colț de dreptunghi), cu ∡ABD = 30°.
Pasul 2. Cateta AD se opune unghiului de 30°, deci este jumătate din ipotenuză: AD = BD : 2 ⇒ BD = 2 · 7 = 14 cm.
Pasul 3. Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente: AC = BD = 14 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 14 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
