2. Dacă cardinalul mulțimii (−2 ; n] ∩ ℤ este egal cu 2025, atunci numărul întreg n este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Intervalul (−2 ; n] nu conține pe −2 (paranteză rotundă), dar îl conține pe n (paranteză dreaptă).
Pasul 2. Numerele întregi din interval sunt: −1, 0, 1, 2, …, n.
Pasul 3. Dintre −1 și n sunt n − (−1) + 1 = n + 2 numere întregi. (Numărăm: −1 și 0 sunt 2 numere, apoi 1, 2, …, n sunt încă n numere.)
Pasul 4. Cardinalul este 2025, deci n + 2 = 2025 ⇒ n = 2023.
Pasul 5. Verificare: pentru n = 2023 mulțimea este {−1, 0, 1, …, 2023}, adică 2025 de elemente ✓.
Pasul 6. Răspuns corect: b) 2023.
5pExercițiul 3
3. Cel mai mare număr întreg din intervalul (−2 ; 5) este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Intervalul (−2 ; 5) este deschis: nu conține capetele −2 și 5.
Pasul 2. Numerele întregi din interval sunt: −1, 0, 1, 2, 3, 4.
Pasul 3. Cel mai mare dintre ele este 4.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 4.
5pExercițiul 4
4. Scrisă sub formă de interval, mulțimea A = {x ∈ ℝ | −1 < x ≤ 5} este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Condiția „−1 < x” este strictă: −1 nu aparține mulțimii, deci capătul din stânga este deschis: „(−1”.
Pasul 2. Condiția „x ≤ 5” este nestrictă: 5 aparține mulțimii, deci capătul din dreapta este închis: „5]”.
Pasul 3. Mulțimea este intervalul (−1 ; 5].
Pasul 4. Răspuns corect: b) (−1 ; 5].
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Dan, Marius, Ion și George, au calculat media geometrică a numerelor a = √5 − 2 și b = 2 + √5. Rezultatele lor sunt trecute în tabelul de mai jos:
Dan
Marius
Ion
George
√7
3
−1
1
Conform indicațiilor din tabel, cel care a răspuns corect este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Numerele sunt pozitive: deoarece 5 > 4, avem √5 > 2, deci a = √5 − 2 > 0. De asemenea, b = 2 + √5 > 0.
Pasul 4. mg = √1 = 1. (Media geometrică a două numere pozitive nu poate fi negativă, deci −1 nu convine.)
Pasul 5. Valoarea 1 apare în tabel la George.
Pasul 6. Răspuns corect: d) George.
5pExercițiul 6
6. În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate la ora 8, la o stație meteo, în fiecare zi a unei săptămâni.
Ziua
Temperatura (°C)
Luni
−1
Marți
−8
Miercuri
−10
Joi
−5
Vineri
1
Sâmbătă
3
Duminică
8
Afirmația „Conform indicațiilor din tabel, media aritmetică a temperaturilor pozitive este egală cu 4” este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Căutăm în tabel temperaturile pozitive (mai mari decât 0): vineri 1°C, sâmbătă 3°C, duminică 8°C. Celelalte zile au temperaturi negative.
Pasul 2. Media aritmetică este suma împărțită la numărul de valori: ma = 1 + 3 + 83 = 123 = 4.
Pasul 3. Media este chiar 4, deci afirmația este adevărată.
Pasul 4. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura următoare se dă segmentul AB = 8 cm. Dacă M este mijlocul lui AB, iar C este simetricul lui M față de B, atunci lungimea segmentului AC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. M este mijlocul lui AB, deci AM = MB = 8 : 2 = 4 cm.
Pasul 2. C este simetricul lui M față de B, deci B este mijlocul segmentului MC: BC = MB = 4 cm.
Pasul 3. Punctele A, M, B, C sunt, în această ordine, pe aceeași dreaptă, deci AC = AB + BC = 8 + 4 = 12 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 12 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, dreptele a și b sunt paralele. Valoarea lui x este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Cele două segmente se întâlnesc într-un punct P de pe dreapta b și pornesc din punctele L (stânga) și R (dreapta) de pe dreapta a. Obținem triunghiul LRP, în care x este unghiul din P.
Pasul 2. Unghiul de 117° și unghiul triunghiului din R sunt suplimentare (formează un unghi alungit pe dreapta a): unghiul R = 180° − 117° = 63°.
Pasul 3. Unghiul triunghiului din L este altern intern cu unghiul de 50° (dreptele a și b sunt paralele, iar transversala este segmentul LP): unghiul L = 50°.
Pasul 4. Suma unghiurilor triunghiului LRP este 180°: x = 180° − 50° − 63° = 67°.
Pasul 5. Altfel: unghiul de 117° este unghi exterior al triunghiului, deci este egal cu suma celorlalte două unghiuri: 117° = 50° + x ⇒ x = 67°.
Pasul 6. Răspuns corect: a) 67°.
5pExercițiul 3
3. Figura alăturată reprezintă schema unui loc de joacă, sub forma unui triunghi ABC, dreptunghic în A. Dacă AC = 20 m și unghiul C este dublul unghiului B, atunci perimetrul locului de joacă este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul este dreptunghic în A, deci ∡B + ∡C = 90°. Cum ∡C = 2 · ∡B, avem 3 · ∡B = 90°, deci ∡B = 30° și ∡C = 60°.
Pasul 2. Cateta AC se opune unghiului B de 30°, deci AC = BC2 ⇒ BC = 2 · 20 = 40 m.
Pasul 3. Cu teorema lui Pitagora în triunghiul ABC: AB2 = BC2 − AC2 = 402 − 202 = 1600 − 400 = 1200, deci AB = √1200 = 20√3 m.
Pasul 4. Perimetrul: P = AB + BC + AC = 20√3 + 40 + 20 = 60 + 20√3 m.
Pasul 5. Răspuns corect: a) (60 + 20√3) m.
5pExercițiul 4
4. În figura următoare este reprezentat un depozit format din pătratul ABCD și triunghiul dreptunghic isoscel ABE, cu ∡E = 90° și AE = 6 m. Suprafața depozitului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABE este dreptunghic isoscel cu ∡E = 90°, deci catetele sunt AE = BE = 6 m, iar AB este ipotenuza.
Pasul 2. Cu teorema lui Pitagora: AB2 = AE2 + BE2 = 36 + 36 = 72, deci AB = √72 = 6√2 m.
5. În figura alăturată se dă cercul de centru O și rază 10 cm, cu punctele A, B și C situate pe cerc, iar măsura arcului mic AB este 120°. Dacă punctele C și B sunt diametral opuse, atunci distanța dintre punctele A și B este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Raza cercului este 10 cm. Unghiul la centru ∡AOB are aceeași măsură ca arcul mic AB: ∡AOB = 120°.
Pasul 2. Punctele C și B sunt diametral opuse, deci BC = 2 · 10 = 20 cm este diametru, iar O este mijlocul lui BC. Atunci unghiul AOC este suplimentar cu unghiul AOB: 180° − 120° = 60°.
Pasul 3. Triunghiul AOC are OA = OC = 10 cm și un unghi de 60° (între ele), deci este echilateral: AC = 10 cm. Triunghiul ABC este înscris într-un semicerc, deci este dreptunghic în A (unghi cu vârful pe cerc care subîntinde diametrul BC).
Pasul 4. Cu teorema lui Pitagora în triunghiul ABC: AB2 = BC2 − AC2 = 202 − 102 = 400 − 100 = 300, deci AB = √300 = 10√3 cm.
Pasul 5. (Altfel: triunghiul AOB este isoscel cu OA = OB = 10 și unghiul de 120° la vârf; înălțimea din O împarte baza în două părți egale cu 10 · sin 60° = 5√3, deci AB = 10√3 cm.)
Pasul 6. Răspuns corect: c) 10√3 cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat un cub ABCDA′B′C′D′. Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului este egală cu 120 cm. Lungimea muchiei cubului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Cubul are 12 muchii egale: 4 în baza inferioară, 4 în baza superioară și 4 muchii laterale.
Pasul 2. Notăm cu l lungimea unei muchii. Suma lungimilor muchiilor este 12 · l = 120 cm.
Pasul 3.l = 120 : 12 = 10 cm.
Pasul 4. Verificare: 12 · 10 = 120 ✓.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 10 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La această testare, ca și la Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
