Pasul 3. Numerele întregi din intervalul (−3; 2√5) sunt −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Numărul 5 nu aparține intervalului, deoarece 5 > 2√5.
Pasul 4. Cel mai mare dintre ele este 4.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 4.
5pExercițiul 5
5. Matei, Ana, Luca și Sandra au calculat media geometrică a numerelor x = 2√3 + 3 și y = 2√3 − 3. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos.
Matei
Ana
Luca
Sandra
2√3
√3
3
6
Dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Media geometrică a numerelor x și y este √x · y.
Pasul 2. Calculăm produsul cu formula (a + b)(a − b) = a2 − b2: x · y = (2√3 + 3)(2√3 − 3) = (2√3)2 − 32 = 4 · 3 − 9 = 12 − 9 = 3.
Pasul 3. Media geometrică este √3.
Pasul 4. Rezultatul √3 a fost obținut de Ana (rezultatul 3 este chiar produsul x · y, nu media geometrică).
Pasul 5. Răspuns corect: b) Ana.
5pExercițiul 6
6. Diana spune că dacă un număr natural este prim, atunci el are doi divizori naturali. Afirmația Dianei este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Un număr natural prim este un număr natural mai mare sau egal cu 2 care se împarte exact doar la 1 și la el însuși.
Pasul 2. Exemple: 2 are divizorii 1 și 2; 7 are divizorii 1 și 7; 13 are divizorii 1 și 13. Fiecare număr prim are exact doi divizori naturali.
Pasul 3. Deci afirmația Dianei este adevărată.
Pasul 4. Răspuns corect: b) Adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura de mai jos este reprezentat segmentul AC, având lungimea de 4 cm. Punctul D este mijlocul segmentului AC, iar punctul B este simetricul lui A față de C. Lungimea segmentului BD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. AC = 4 cm și D este mijlocul lui AC, deci AD = DC = 4 : 2 = 2 cm.
Pasul 2. B este simetricul lui A față de C, deci C este mijlocul segmentului AB și CB = AC = 4 cm.
Pasul 3. Punctele sunt în ordinea A, D, C, B, deci BD = DC + CB = 2 + 4 = 6 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 6 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată unghiurile ∡AOB și ∡BOC sunt adiacente complementare, iar semidreapta OD este bisectoarea unghiului ∡BOC. Dacă ∡DOB are măsura de 35°, atunci ∡AOB are măsura egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. OD este bisectoarea ∡BOC, deci ∡BOC = 2 · ∡DOB = 2 · 35° = 70°.
Pasul 2. Unghiurile ∡AOB și ∡BOC sunt complementare, deci suma lor este 90°: ∡AOB + ∡BOC = 90°.
Pasul 3. ∡AOB = 90° − 70° = 20°.
Pasul 4. Răspuns corect: d) 20°.
5pExercițiul 3
3. O pereche de unghiuri alterne interne din figura alăturată este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Dreapta orizontală este secanta; ea taie cele două drepte oblice.
Pasul 2. Unghiurile interne sunt cele aflate între cele două drepte oblice: 2, 3, 5 și 8.
Pasul 3. Unghiurile alterne interne sunt unghiuri interne aflate de părți diferite ale secantei: unul deasupra și unul sub secantă. Perechile sunt (2; 8) și (3; 5).
Pasul 4. Celelalte perechi nu sunt alterne interne: (1; 6) sunt alterne externe, (4; 5) nu formează o pereche de unghiuri alterne (4 este unghi extern, iar 5 este unghi intern), iar (3; 7) sunt corespondente.
Pasul 5. Răspuns corect: b) (2; 8).
5pExercițiul 4
4. Un trapez isoscel ABCD are bazele de 20 cm și 10 cm. Dacă AC ⊥ BC și ∡CAB = 30°, atunci perimetrul trapezului este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Baza mare este AB = 20 cm, iar baza mică este DC = 10 cm.
Pasul 2. Triunghiul ABC este dreptunghic în C (AC ⊥ BC) și ∡CAB = 30°. Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: BC = AB2 = 202 = 10 cm.
Pasul 3. Trapezul este isoscel, deci laturile neparalele sunt egale: AD = BC = 10 cm.
Pasul 4. Perimetrul: P = AB + BC + CD + DA = 20 + 10 + 10 + 10 = 50 cm.
Pasul 5. Verificare: în trapezul isoscel, proiecția fiecărei laturi neparalele pe baza mare este 10 · cos 60° = 5 cm, iar (20 − 10) : 2 = 5 cm ✓.
Pasul 6. Răspuns corect: a) 50 cm.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A și B aparțin cercului, astfel încât ∡AOB = 60° și AB = 4 cm. Aria discului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. OA = OB = R (raze), deci triunghiul AOB este isoscel.
Pasul 2. Unghiul de la vârf are 60°, deci celelalte două unghiuri au câte (180° − 60°) : 2 = 60°. Triunghiul AOB este echilateral.
6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu secțiunea axială triunghiul dreptunghic VAB. Raza conului are lungimea egală cu 4 cm. Aria secțiunii axiale este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Secțiunea axială este triunghiul VAB, cu baza AB = diametrul bazei = 2 · 4 = 8 cm.
Pasul 2. Triunghiul VAB este dreptunghic (în V) și isoscel (VA = VB, generatoare), deci este dreptunghic isoscel, cu unghiurile de la bază de 45°.
Pasul 3. Înălțimea VO (mediana corespunzătoare ipotenuzei) este jumătate din ipotenuză: VO = AB : 2 = 4 cm. (Sau: triunghiul VOA este dreptunghic isoscel, deci VO = OA = 4 cm.)
Pasul 4. Aria secțiunii axiale: A = AB · VO2 = 8 · 42 = 16 cm2.
Pasul 5. Atenție: este o arie de triunghi, deci nu apare π.
Pasul 6. Răspuns corect: b) 16 cm2.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.