Pasul 4.√0,4 = √410 = √25; fracția 25 nu este pătratul unei fracții (nici 2, nici 5 nu sunt pătrate perfecte), deci √0,4 este număr irațional (≈ 0,632…).
Pasul 5.√4 = 2 ⇒ număr natural, deci rațional.
Pasul 6. În mulțimea A există un singur număr irațional.
Pasul 7. Răspuns corect: a) 1.
5pExercițiul 5
5. Mihai, Alexia, Ciprian și Viorel au calculat media aritmetică a numerelor a = 2√3 + 3 și b = 2√3 − 3. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos.
Mihai
Alexia
Ciprian
Viorel
4√3
2√3
3
6
Dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Media aritmetică a numerelor a și b este a + b2.
Pasul 4. Rezultatul 2√3 a fost obținut de Alexia. (Mihai a calculat doar suma a + b = 4√3, fără să împartă la 2.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) Alexia.
5pExercițiul 6
6. Eva afirmă că: „În intervalul de numere reale [−2, 3] sunt 4 numere întregi.” Afirmația Evei este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Intervalul închis [−2, 3] conține toate numerele reale x cu −2 ≤ x ≤ 3, inclusiv capetele −2 și 3.
Pasul 2. Numerele întregi din interval sunt: −2, −1, 0, 1, 2, 3.
Pasul 3. Sunt 6 numere întregi, nu 4. Deci afirmația Evei este falsă.
Pasul 4. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată este reprezentat segmentul AB, având lungimea de 8 cm. Punctul C este mijlocul segmentului AB, iar punctul D este mijlocul segmentului AC. Lungimea segmentului DB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. C este mijlocul lui AB, deci AC = CB = 8 : 2 = 4 cm.
Pasul 2. D este mijlocul lui AC, deci AD = DC = 4 : 2 = 2 cm.
Pasul 3. Punctele sunt în ordinea A, D, C, B, deci DB = DC + CB = 2 + 4 = 6 cm.
Pasul 4. (Altfel: DB = AB − AD = 8 − 2 = 6 cm.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) 6 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată unghiurile ∡AOB și ∡BOC sunt adiacente complementare, iar semidreapta OD este bisectoarea unghiului ∡BOC. Dacă ∡AOB are măsura de 20°, atunci ∡AOD are măsura egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiurile ∡AOB și ∡BOC sunt complementare: ∡AOB + ∡BOC = 90°.
Pasul 2. ∡BOC = 90° − 20° = 70°.
Pasul 3. OD este bisectoarea ∡BOC, deci ∡BOD = ∡BOC2 = 70°2 = 35°.
Pasul 4. Unghiurile ∡AOB și ∡BOD sunt adiacente (au latura comună OB), deci ∡AOD = ∡AOB + ∡BOD = 20° + 35° = 55°.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 55°.
5pExercițiul 3
3. O pereche de unghiuri corespondente din figura alăturată este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Dreapta orizontală este secanta, iar celelalte două drepte sunt tăiate de ea.
Pasul 2. Unghiurile corespondente ocupă aceeași poziție față de secantă și față de dreapta tăiată (de exemplu ambele sus-stânga, sus-dreapta, jos-stânga sau jos-dreapta).
Pasul 3. Perechile de unghiuri corespondente sunt: (1; 5), (2; 6), (3; 7) și (4; 8).
Pasul 4. Din variante, perechea (3; 7) este corespondentă (ambele sunt „jos-dreapta”). Celelalte: (1; 6) sunt alterne externe, (2; 8) sunt alterne interne, iar (4; 5) nu formează o pereche specială.
Pasul 5. Răspuns corect: d) (3; 7).
5pExercițiul 4
4. Un trapez isoscel ABCD are bazele de 16 cm și 9 cm, iar înălțimea trapezului este media geometrică a bazelor trapezului. Aria trapezului este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Media geometrică a bazelor: h = √16 · 9 = √144 = 12 cm.
Pasul 2. Aria trapezului: A = (B + b) · h2, unde B = 16 cm, b = 9 cm.
5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O. Punctele A și B aparțin cercului, astfel încât măsura unghiului AOB este de 60° și AB = 6 cm. Lungimea cercului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. OA = OB = R (raze), deci triunghiul AOB este isoscel, cu unghiul de la vârf de 60°.
Pasul 2. Unghiurile de la bază au câte (180° − 60°) : 2 = 60°, deci triunghiul AOB este echilateral.
Pasul 3. Prin urmare R = OA = AB = 6 cm.
Pasul 4. Lungimea cercului: L = 2πR = 2π · 6 = 12π cm.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 12π cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu secțiunea axială triunghiul dreptunghic VAB. Generatoarea conului are lungimea egală cu 4√2 cm. Aria bazei conului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul VAB este dreptunghic (în V) și isoscel (VA = VB = 4√2 cm, generatoare).
Pasul 2. Teorema lui Pitagora în triunghiul VAB: AB2 = VA2 + VB2 = (4√2)2 + (4√2)2 = 32 + 32 = 64 ⇒ AB = 8 cm.
Pasul 3. AB este diametrul bazei, deci raza este R = 8 : 2 = 4 cm.
Pasul 4. Aria bazei (un disc): A = π · R2 = π · 42 = 16π cm2.
Pasul 5. Atenție: 16 cm2 (fără π) ar fi aria unui pătrat cu latura 4, nu a unui cerc.
Pasul 6. Răspuns corect: d) 16π cm2.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.