Simulare Evaluarea Națională · Clasa a VIII-aSimulare noiembrie – Județul Ilfov · Anul școlar 2023 – 2024 · Noiembrie 2023 · Matematică
Punctaj: 0 / 60Corecte: 0 / 12 · Răspunse: 0 / 12
SUBIECTUL I
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. Mulțimea numerelor reale mai mici decât −3 este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Numerele reale mai mici decât −3 sunt cele aflate pe axă la stânga lui −3.
Pasul 2. Ele merg „la infinit” spre stânga, deci intervalul începe de la −∞.
Pasul 3. Numărul −3 nu este mai mic decât −3 (este egal cu el), deci capătul −3 nu aparține mulțimii; folosim paranteză rotundă: x < −3 ⇒ x ∈ (−∞; −3).
Pasul 4. Răspuns corect: c) (−∞; −3).
5pExercițiul 2
2. Media aritmetică a numerelor a = 16 și b = 4 este mai mare decât media lor geometrică cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Media aritmetică: ma = 16 + 42 = 202 = 10.
6. Ela spune că dacă un număr natural este prim, atunci el are doi divizori naturali. Afirmația Elei este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Un număr natural prim este un număr natural mai mare sau egal cu 2 care are exact doi divizori naturali: 1 și el însuși.
Pasul 2. Exemple: 2 are divizorii 1 și 2; 5 are divizorii 1 și 5; 11 are divizorii 1 și 11.
Pasul 3. Deci afirmația Elei este adevărată.
Pasul 4. Răspuns corect: b) Adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată este reprezentat segmentul AB cu lungimea de 10 cm. Punctul A este mijlocul segmentului CB, iar punctul D este simetricul punctului C față de punctul B. Lungimea segmentului AD este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. A este mijlocul lui CB, deci CA = AB = 10 cm și CB = 20 cm.
Pasul 2. D este simetricul lui C față de B, deci B este mijlocul segmentului CD și BD = CB = 20 cm.
Pasul 3. Punctele sunt în ordinea C, A, B, D, deci AD = AB + BD = 10 + 20 = 30 cm.
Pasul 4. (Altfel: CD = 2 · CB = 40 cm, iar AD = CD − CA = 40 − 10 = 30 cm.)
Pasul 5. Răspuns corect: c) 30 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, semidreapta OC este bisectoarea ∡AOB și semidreapta OD este bisectoarea ∡BOC. Dacă ∡COD = 15°, atunci ∡AOD are măsura de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. OD este bisectoarea ∡BOC, deci ∡BOC = 2 · ∡COD = 2 · 15° = 30°.
Pasul 2. OC este bisectoarea ∡AOB, deci ∡AOC = ∡BOC = 30° (și ∡AOB = 60°).
Pasul 3. Din figură, OC se află în interiorul unghiului AOD, deci ∡AOD = ∡AOC + ∡COD = 30° + 15° = 45°.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 45°.
5pExercițiul 3
3. În figura următoare este reprezentat un triunghi ABC, dreptunghic în A, cu AB = 8 cm, BC = 8√3 cm. Punctul M este mijlocul laturii AC. Lungimea segmentului BM este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul ABC, dreptunghic în A, aplicăm teorema lui Pitagora: AC2 = BC2 − AB2 = (8√3)2 − 82 = 192 − 64 = 128.
Pasul 2. AC = √128 = 8√2 cm.
Pasul 3. M este mijlocul lui AC, deci AM = 8√22 = 4√2 cm.
4. În figura următoare este reprezentat rombul ABCD cu măsura unghiului BAD de 45° și lungimea laturii AB = 6 cm. Aria rombului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Rombul are toate laturile egale: AB = AD = 6 cm. Aria unui paralelogram (deci și a rombului) este baza · înălțimea.
Pasul 2. Ducem înălțimea DE ⊥ AB, E ∈ AB. Triunghiul ADE este dreptunghic în E și are ∡A = 45°, deci este dreptunghic isoscel: DE = AE.
Pasul 3. Din teorema lui Pitagora: 2 · DE2 = AD2 = 36 ⇒ DE2 = 18 ⇒ DE = √18 = 3√2 cm.
Pasul 4. Aria rombului: A = AB · DE = 6 · 3√2 = 18√2 cm2.
Pasul 5. (Figura nu este făcută la scară: măsura unghiului BAD este cea din enunț.)
Pasul 6. Răspuns corect: a) 18√2 cm2.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat un trapez isoscel ABCD, cu AB ∥ CD. Diagonala AC este perpendiculară pe latura BC, AC = 6 cm, iar măsura unghiului ADC = 120°. Lungimea segmentului AD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. ∡ADC = 120° și AB ∥ CD, deci ∡DAB = 180° − 120° = 60° (unghiuri interne de aceeași parte a secantei AD).
Pasul 2. Trapezul este isoscel, deci unghiurile de la baza AB sunt egale: ∡ABC = ∡DAB = 60°.
Pasul 3. Triunghiul ABC este dreptunghic în C (AC ⊥ BC) și ∡B = 60°, deci tg 60° = ACBC ⇒ √3 = 6BC ⇒ BC = 6√3 = 6√33 = 2√3 cm.
Pasul 4. (Altfel: ∡CAB = 30°, iar BC este cateta opusă unghiului de 30°, deci BC = AB : 2, iar AB2 = AC2 + BC2 ⇒ BC = 2√3.)
Pasul 5. Trapezul este isoscel, deci laturile neparalele sunt egale: AD = BC = 2√3 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: c) 2√3 cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat ABCD cu aria unei fețe egală cu 36√3 cm2. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului regulat este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Fiecare față a tetraedrului regulat este un triunghi echilateral cu latura a (muchia tetraedrului). Aria sa este a2√34.
Pasul 2.a2√34 = 36√3 ⇒ a2 = 36 · 4 = 144 ⇒ a = 12 cm.
Pasul 3. Un tetraedru are 6 muchii, toate egale cu 12 cm.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
