Pasul 4. Atenție: 120 este numărul de elevi, nu procentul!
Pasul 5. Răspuns corect: d) 20%.
5pExercițiul 5
5. Patru elevi au calculat diferența dintre media aritmetică și media geometrică a numerelor a = 3 + 2√2 și b = 3 − 2√2. Rezultatele obținute au fost trecute în tabelul de mai jos:
Andrei
Bogdan
Ciprian
Dan
2√2 − 1
1 − 2√2
2
−2
Cel care a efectuat corect calculul este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Media aritmetică: ma = a + b2 = 3 + 2√2 + 3 − 2√22 = 62 = 3.
Pasul 3. Numerele naturale din interval sunt 0, 1, 2; cel mai mic dintre ele este 0, nu −4.
Pasul 4. (Observație: −4 este cel mai mic număr întreg din interval, dar nu este număr natural.)
Pasul 5. Răspuns corect: a) Falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura de mai jos sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C, D și E. Punctul C este simetricul lui A față de B, punctul D este simetricul lui B față de C iar punctul E este simetricul lui C față de D. Dacă AD = 12 cm, atunci lungimea segmentului AE este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. C este simetricul lui A față de B ⇒ B este mijlocul lui AC ⇒ AB = BC.
Pasul 2. D este simetricul lui B față de C ⇒ BC = CD; E este simetricul lui C față de D ⇒ CD = DE.
Pasul 3. Deci AB = BC = CD = DE. Notăm această lungime cu x.
Pasul 4. AD = AB + BC + CD = 3x = 12 cm ⇒ x = 4 cm.
Pasul 5. AE = AB + BC + CD + DE = 4x = 4 · 4 = 16 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: d) 16 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura următoare OA ⊥ OB, ∡DOC = 2∡AOC și ∡DOB = 3∡AOC. Măsura ∡AOC este egală cu: Semidreptele OA, OC, OD și OB sunt așezate consecutiv în jurul lui O; unghiurile AOC, COD, DOB și BOA au interioarele disjuncte și acoperă unghiul complet.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm ∡AOC = x. Atunci ∡DOC = 2x și ∡DOB = 3x.
Pasul 2. OA ⊥ OB ⇒ ∡AOB = 90°.
Pasul 3. Unghiurile ∡AOB, ∡AOC, ∡COD și ∡DOB sunt unghiuri în jurul punctului O (nu se suprapun și acoperă tot planul), deci suma lor este 360°.
Pasul 4. 90° + x + 2x + 3x = 360° ⇒ 6x = 270° ⇒ x = 45°.
3. În figura următoare este reprezentat un triunghi ABC, dreptunghic în A, cu AB = 24 cm și AC = 9 cm, iar punctul G este centrul de greutate al triunghiului. Lungimea segmentului CG este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Centrul de greutate G se află pe mediana din C. Fie M mijlocul laturii AB; atunci CM este mediană.
Pasul 2. AM = AB2 = 242 = 12 cm.
Pasul 3. Triunghiul CAM este dreptunghic în A. Din teorema lui Pitagora: CM2 = AC2 + AM2 = 81 + 144 = 225 ⇒ CM = 15 cm.
Pasul 4. Centrul de greutate se află la două treimi din mediană, de la vârf: CG = 23 · CM = 23 · 15 = 10 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 10 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura următoare este reprezentat pătratul ABCD cu aria egală cu 144 cm2 și punctele E și F aparțin laturii CD astfel încât segmentele DE, EF și FC sunt congruente. Aria triunghiului AEF este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Latura pătratului: ℓ2 = 144 ⇒ ℓ = 12 cm.
Pasul 2. DE = EF = FC și DE + EF + FC = DC = 12 cm ⇒ EF = 12 : 3 = 4 cm.
Pasul 3. În triunghiul AEF luăm baza EF. Înălțimea corespunzătoare este distanța de la A la dreapta CD, adică AD = 12 cm (AD ⊥ DC).
Pasul 4. Aria AEF = EF · AD2 = 4 · 122 = 24 cm2.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 24 cm2.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O, cu razele OA și OB perpendiculare, iar punctul C aparține arcului mic AB. Măsura ∡ACB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. OA ⊥ OB ⇒ unghiul la centru ∡AOB = 90°, deci arcul mic AB are 90°.
Pasul 2. Arcul mare AB (cel care nu conține punctul C) are 360° − 90° = 270°.
Pasul 3. ∡ACB este unghi înscris în cerc (vârful C pe cerc) și cuprinde între laturi arcul mare AB (cel care nu conține C).
Pasul 4. Măsura unghiului înscris este jumătate din măsura arcului cuprins: ∡ACB = 270°2 = 135°.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 135°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat ABCD cu aria unei fețe egală cu 9√3 cm2. Suma tuturor muchiilor tetraedrului este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Fețele tetraedrului regulat sunt triunghiuri echilaterale. Aria unui triunghi echilateral de latură ℓ este ℓ2√34.
Pasul 2.ℓ2√34 = 9√3 ⇒ ℓ2 = 36 ⇒ ℓ = 6 cm.
Pasul 3. Tetraedrul are 6 muchii (AB, AC, AD, BC, BD, CD), toate egale cu 6 cm.
Pasul 4. Suma muchiilor: 6 · 6 = 36 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 36 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.