6. Emil afirmă că „Sfertul numărului 412 este 43”. Afirmația lui Emil este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Sfertul unui număr înseamnă numărul împărțit la 4.
Pasul 2. 412 : 4 = 412 : 41 = 412 − 1 = 411 (la împărțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții se scad).
Pasul 3. Sfertul lui 412 este 411, iar 411 ≠ 43.
Pasul 4. Deci afirmația lui Emil este falsă.
Pasul 5. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată este reprezentat segmentul AD, pe care sunt situate punctele B și C astfel încât AC = 3AB, punctul C este mijlocul segmentului BD, iar AB = 4 cm. Raportul ACBD este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. AB = 4 cm și AC = 3 · AB = 3 · 4 = 12 cm.
Pasul 2. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci BC = AC − AB = 12 − 4 = 8 cm.
Pasul 3. C este mijlocul lui BD, deci BD = 2 · BC = 2 · 8 = 16 cm.
Pasul 4.ACBD = 1216 = 34.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 34.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel ABCD cu AB ∥ CD, AB > CD, AD ∩ BC = {M}, ∡ABC = (x + 10)° și ∡BCD = (3x + 30)°. Măsura unghiului AMB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Dreptele AB și CD sunt paralele, iar BC este secantă. Unghiurile ∡ABC și ∡BCD sunt interne de aceeași parte a secantei, deci sunt suplimentare: ∡ABC + ∡BCD = 180°.
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABC cu măsura unghiului ACB de 135°. Dacă distanța de la punctul A la BC este de 3√2 cm, lungimea laturii BC este de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Un triunghi isoscel nu poate avea două unghiuri obtuze, deci unghiul de 135° este unghiul de la vârf: CA = CB (triunghiul este isoscel cu baza AB).
Pasul 2. Notăm cu H piciorul perpendicularei din A pe dreapta BC. Cum unghiul ACB este obtuz, H se află pe prelungirea lui BC, dincolo de C, iar AH = 3√2 cm (distanța de la A la BC).
Pasul 3. ∡ACH = 180° − 135° = 45°. Triunghiul AHC este dreptunghic în H cu un unghi de 45°, deci este dreptunghic isoscel: HC = AH = 3√2 cm.
Pasul 4. Cu teorema lui Pitagora: AC2 = AH2 + HC2 = 18 + 18 = 36, deci AC = 6 cm.
Pasul 5. Cum CA = CB, rezultă BC = 6 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: b) 6 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD cu AB = 8 cm, BC = 6 cm, iar punctele M, N, P, Q sunt situate pe laturile AB, BC, CD, respectiv DA astfel încât AM = BN = CP = DQ = 2 cm. Atunci raportul dintre aria patrulaterului MNPQ și aria dreptunghiului ABCD este de:
Pasul 2. Avem AM = BN = CP = DQ = 2 cm, deci MB = 8 − 2 = 6 cm, NC = 6 − 2 = 4 cm, PD = 8 − 2 = 6 cm și QA = 6 − 2 = 4 cm.
Pasul 3. Aria patrulaterului MNPQ se obține scăzând din aria dreptunghiului cele patru triunghiuri dreptunghice din colțuri: AAMQ = 2 · 42 = 4, ABMN = 6 · 22 = 6, ACNP = 4 · 22 = 4, ADPQ = 6 · 22 = 6 (cm2).
Pasul 4. Suma ariilor celor patru triunghiuri: 4 + 6 + 4 + 6 = 20 cm2.
Pasul 5. AMNPQ = 48 − 20 = 28 cm2, deci raportul este 2848 = 712.
Pasul 6. Răspuns corect: b) 712.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată punctele A, B, C și D aparțin cercului, iar coardele AC și BD se intersectează în E. Dacă AB = 6 cm, AE = 4 cm și DE = 3 cm, atunci lungimea segmentului DC este de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Comparăm triunghiurile ABE și DCE. Unghiurile ∡BAE = ∡BAC și ∡CDE = ∡CDB sunt unghiuri înscrise care subîntind același arc BC, deci sunt congruente.
Pasul 2. Unghiurile ∡AEB și ∡DEC sunt opuse la vârf, deci sunt congruente.
Pasul 3. Rezultă ΔABE ~ ΔDCE (cazul U.U.), cu corespondența A ↔ D, B ↔ C, E ↔ E.
Pasul 4. Din asemănare: ABDC = AEDE, adică 6DC = 43.
Pasul 5. DC = 6 · 34 = 184 = 4,5 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: b) 4,5 cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat ABCD care are aria triunghiului BCD de 9√3 cm2. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului ABCD este de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Într-un tetraedru regulat toate muchiile sunt egale; notăm lungimea unei muchii cu l. Fețele sunt triunghiuri echilaterale de latură l.
Pasul 2. Aria unui triunghi echilateral de latură l este l2√34. Din ABCD = 9√3: l2√34 = 9√3.
Pasul 3.l2 = 9 · 4 = 36, deci l = 6 cm.
Pasul 4. Tetraedrul are 6 muchii, deci suma lungimilor muchiilor este 6 · 6 = 36 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 36 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
