5. Patru elevi, Alina, Bogdan, Corina și Dan, au calculat media aritmetică a numerelor a = √32 + 42 și b = 45. Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Pasul 2. Media aritmetică a numerelor 5 și 45 este ma = 5 + 452 = 502 = 25.
Pasul 3. Valoarea 25 apare în tabel la Bogdan.
Pasul 4. (Atenție: 50 este suma celor două numere, nu media lor.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) Bogdan.
5pExercițiul 6
6. Se consideră numărul real a = 11 − 5√5. Enunțul „Numărul real a este pozitiv.” este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.a este pozitiv dacă 11 − 5√5 > 0, adică dacă 11 > 5√5.
Pasul 2. Ambii membri sunt pozitivi, deci îi putem compara ridicându-i la pătrat: 112 = 121, iar (5√5)2 = 25 · 5 = 125.
Pasul 3. Cum 121 < 125, rezultă 11 < 5√5, deci a = 11 − 5√5 < 0.
Pasul 4. (Aproximativ: 5√5 ≈ 5 · 2,236 = 11,18, deci a ≈ 11 − 11,18 = −0,18.)
Pasul 5. Numărul a este negativ, deci enunțul este fals.
Pasul 6. Răspuns corect: b) fals.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AC = 2 · AB și AD = 2 · AC. Punctul M este mijlocul segmentului AB și AM = 2 cm. Lungimea segmentului MD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. M este mijlocul lui AB și AM = 2 cm, deci AB = 2 · AM = 4 cm.
Pasul 2. AC = 2 · AB = 2 · 4 = 8 cm.
Pasul 3. AD = 2 · AC = 2 · 8 = 16 cm.
Pasul 4. Punctele A, M, D sunt coliniare, în această ordine, deci MD = AD − AM = 16 − 2 = 14 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 14 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată punctele A, O și D sunt coliniare, unghiul BOC este drept, iar măsura unghiului AOC este egală cu 30°. Măsura unghiului BOD este egală cu: O se află între A și D, iar semidreapta OA este în interiorul unghiului BOC.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiul BOC este drept: ∡BOC = 90°. Semidreptele OC și OB sunt de o parte și de alta a dreptei AD, deci ∡BOC = ∡AOC + ∡AOB.
Pasul 2. Atunci ∡AOB = 90° − 30° = 60°.
Pasul 3. Punctele A, O, D sunt coliniare, deci unghiurile AOB și BOD sunt adiacente suplimentare: ∡BOD = 180° − ∡AOB = 180° − 60° = 120°.
Pasul 4. Răspuns corect: a) 120°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu măsura unghiului ACB egală cu 60°. Semidreapta CM este bisectoarea unghiului ACB și CM = 8 cm. Lungimea laturii AB este egală cu: Punctul M aparține laturii AB.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. CM este bisectoarea unghiului ACB, deci ∡ACM = 60° : 2 = 30°.
Pasul 2. În triunghiul ACM, dreptunghic în A, cateta AM se opune unghiului de 30°, deci AM = CM2 = 4 cm.
Pasul 3. Cu teorema lui Pitagora în triunghiul ACM: AC2 = CM2 − AM2 = 64 − 16 = 48, deci AC = √48 = 4√3 cm.
Pasul 4. În triunghiul ABC: ∡B = 90° − 60° = 30°, deci AC = BC2 ⇒ BC = 2 · 4√3 = 8√3 cm.
Pasul 5. AB2 = BC2 − AC2 = 192 − 48 = 144, deci AB = 12 cm.
Pasul 6. (Altfel: tg 60° = ABAC = √3, deci AB = 4√3 · √3 = 12 cm.)
Pasul 7. Răspuns corect: c) 12 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat patrulaterul ABCD. Triunghiurile ADC și ABC sunt dreptunghice isoscele, cu AD = CD și AC = BC. Aria triunghiului ABC este egală cu 288 cm2. Aria triunghiului ADC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABC este isoscel cu AC = BC, deci unghiul drept este în C: catetele sunt AC = BC, iar AB este ipotenuza. Analog, în triunghiul ADC unghiul drept este în D (catetele AD = CD, ipotenuza AC).
Pasul 2. Aria triunghiului ABC = AC · BC2 = AC22 = 288, deci AC2 = 576 și AC = 24 cm.
Pasul 3. În triunghiul ADC: AD2 + CD2 = AC2, adică 2 · AD2 = 576, deci AD2 = 288.
Pasul 5. (Altfel: AC este cateta în ABC și ipotenuza în ADC; aria triunghiului dreptunghic isoscel este pătratul ipotenuzei împărțit la 4, iar aria lui ABC este pătratul catetei împărțit la 2. Deci aria ADC este jumătate din aria ABC: 288 : 2 = 144.)
Pasul 6. Răspuns corect: b) 144 cm2.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, punctul O aparține segmentului AB, iar dreptele AB și CD sunt paralele. Dacă măsura arcului mic BD este egală cu 40°, atunci măsura unghiului COD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. O aparține segmentului AB, deci AB este diametru, iar unghiul la centru BOD are măsura arcului mic BD: ∡BOD = 40°.
Pasul 2. Dreptele AB și CD sunt paralele, iar OD este secantă: unghiurile ∡ODC și ∡BOD sunt alterne interne, deci ∡ODC = ∡BOD = 40°.
Pasul 3. Triunghiul COD este isoscel (OC = OD = raza cercului), deci ∡OCD = ∡ODC = 40°.
Pasul 5. (Altfel: din simetria față de perpendiculara prin O pe AB, ∡AOC = ∡BOD = 40°, deci ∡COD = 180° − 40° − 40° = 100°.)
Pasul 6. Răspuns corect: d) 100°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat ABCD. Dacă AB = 4 cm, atunci aria totală a tetraedrului ABCD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Tetraedrul regulat are 4 fețe, toate triunghiuri echilaterale congruente, cu latura egală cu muchia: 4 cm.
Pasul 2. Aria unui triunghi echilateral de latură l este l2√34. Pentru l = 4: 16√34 = 4√3 cm2.
Pasul 3. Aria totală = 4 · 4√3 = 16√3 cm2.
Pasul 4. Răspuns corect: d) 16√3 cm2.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
