Pasul 2. Împărțim la 3 (număr pozitiv, deci sensul inegalității nu se schimbă): x ≥ 2.
Pasul 3. Soluțiile sunt toate numerele reale mai mari sau egale cu 2, adică intervalul [2, +∞) (paranteza de la 2 este pătrată, pentru că 2 este soluție).
Pasul 4. Verificare: pentru x = 2 obținem 3 · 2 − 1 = 5 ≥ 5 (adevărat).
Pasul 5. Răspuns corect: c) [2, +∞).
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Ioana, Mara, Petrică și Ștefan, calculează produsul numerelor a = √3 + √2 și b = √3 − √2, iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Ioana
Mara
Petrică
Ștefan
7
5
1
−1
Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Numerele sunt conjugate: (√3 + √2)(√3 − √2) are forma (x + y)(x − y) = x2 − y2.
Pasul 2. Cu x = √3 și y = √2: a · b = (√3)2 − (√2)2 = 3 − 2 = 1.
Pasul 3. Rezultatul 1 a fost obținut de Petrică.
Pasul 4. Răspuns corect: c) Petrică.
5pExercițiul 6
6. O mașină se deplasează în intervalul orar 12:00 – 14:00 cu o viteză medie de 80 km/h. Mihai afirmă că: „În acest interval de timp, mașina a parcurs o distanță egală cu 160 km.” Afirmația lui Mihai este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Intervalul 12:00 – 14:00 are durata de 14 − 12 = 2 ore.
Pasul 2. Distanța = viteza medie · timpul = 80 km/h · 2 h = 160 km.
Pasul 3. Deci afirmația lui Mihai este adevărată.
Pasul 4. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată punctele A, B și C sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AC = 16 cm. Știind că punctul M este mijlocul segmentului AB, iar punctul N este mijlocul segmentului BC, lungimea segmentului MN este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.M este mijlocul lui AB, deci MB = AB2.
Pasul 2.N este mijlocul lui BC, deci BN = BC2.
Pasul 3. Punctul B se află între M și N, deci MN = MB + BN = AB + BC2 = AC2.
Pasul 4.MN = 16 : 2 = 8 cm.
Pasul 5. (Figura nu este făcută la scară; contează doar informațiile din enunț.)
Pasul 6. Răspuns corect: b) 8 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată sunt reprezentate dreptele perpendiculare AB și CD. Punctul O este intersecția celor două drepte și semidreapta OM este bisectoarea unghiului BOC. Măsura unghiului AOM este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Dreptele AB și CD sunt perpendiculare, deci ∡BOC = 90°.
Pasul 2.OM este bisectoarea lui ∡BOC, deci ∡BOM = ∡MOC = 90° : 2 = 45°.
Pasul 3. Punctele A, O, B sunt coliniare, deci ∡AOM și ∡MOB sunt suplimentare: ∡AOM = 180° − 45° = 135°.
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, cu BC = 4 cm. Punctul P este mijlocul segmentului AB. Distanța de la punctul P la dreapta AC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm cu Q piciorul perpendicularei din P pe AC. Distanța cerută este PQ.
Pasul 2. Triunghiul APQ este dreptunghic în Q, cu AP = AB : 2 = 2 cm și ∡A = 60° (triunghiul ABC este echilateral), deci ∡APQ = 30°.
Pasul 3. Cateta AQ este opusă unghiului de 30°, deci AQ = AP : 2 = 1 cm.
Pasul 4. Teorema lui Pitagora: PQ2 = AP2 − AQ2 = 4 − 1 = 3, deci PQ = √3 cm.
Pasul 5. Altă variantă: înălțimea triunghiului echilateral este 4√32 = 2√3 cm, iar P este mijlocul lui AB, deci distanța de la P la AC este jumătate din ea: √3 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: b) √3 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD. Punctul O este mijlocul diagonalei AC, iar punctul S este mijlocul laturii BC. Raportul dintre aria triunghiului COS și aria paralelogramului ABCD este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Diagonala AC împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente: AABC = 12 · AABCD.
Pasul 2. În triunghiul ABC, OS este linie mijlocie (O și S sunt mijloacele laturilor AC și BC), deci triunghiul COS este asemenea cu triunghiul CAB, cu raportul de asemănare 12.
Pasul 3. Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: ACOS = 14 · AABC.
Pasul 4.ACOS = 14 · 12 · AABCD = 18 · AABCD.
Pasul 5. Raportul cerut este 18.
Pasul 6. Răspuns corect: a) 18.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și diametru AB = 50 cm. Lungimea acestui cerc este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Lungimea cercului: L = 2πR = πd, unde d este diametrul.
Pasul 2. Diametrul este AB = 50 cm (raza este 25 cm).
Pasul 3.L = π · 50 = 50π cm.
Pasul 4. Verificare: 2π · 25 = 50π cm.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 50π cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă ABCA′B′C′, cu baza triunghiul echilateral ABC. Dacă AB = AA′ = 6 cm, atunci aria laterală a prismei este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Aria laterală a unei prisme drepte: Al = Pbază · h.
Pasul 2. Baza este un triunghi echilateral cu latura 6 cm, deci Pbază = 3 · 6 = 18 cm.
Pasul 3. Prisma este dreaptă, deci înălțimea este muchia laterală: h = AA′ = 6 cm.
Pasul 4.Al = 18 · 6 = 108 cm2.
Pasul 5. Altă variantă: cele trei fețe laterale sunt dreptunghiuri cu dimensiunile 6 cm × 6 cm, deci Al = 3 · 36 = 108 cm2.
Pasul 6. Răspuns corect: b) 108 cm2.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.