5. Patru elevi, George, Anca, Marius și Alina, ordonează crescător numerele a = 23, b = 0,5, c = 0,1(3) și d = 14. Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:
George
Anca
Marius
Alina
d < c < b < a
c < d < a < b
c < d < b < a
d < b < a < c
Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Scriem toate numerele în scriere zecimală:
Pasul 2.a = 23 = 0,666… ; b = 0,5 ; c = 0,1(3) = 0,1333… ; d = 14 = 0,25.
Pasul 3. Ordonăm crescător: 0,1333… < 0,25 < 0,5 < 0,666…, adică c < d < b < a.
Pasul 4. Această ordine este cea scrisă de Marius.
Pasul 5. (George a pus pe d înaintea lui c; Anca a pus pe a înaintea lui b; Alina a pus pe c la sfârșit.)
Pasul 6. Răspuns corect: c) Marius.
5pExercițiul 6
6. În prezent, Ioana și Maria au împreună 28 de ani. Afirmația „Peste 3 ani, Ioana și Maria vor avea împreună 31 de ani.” este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Peste 3 ani fiecare dintre cele două fete va avea cu 3 ani mai mult.
Pasul 2. Împreună vor avea cu 3 + 3 = 6 ani mai mult decât acum: 28 + 6 = 34 de ani.
Pasul 3. Cum 34 ≠ 31, afirmația este falsă. (31 s-ar obține adăugând doar 3 ani la total, greșit, deoarece sunt două persoane.)
Pasul 4. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, astfel încât AB < BC < CD și BC = 7 cm. Lungimile segmentelor AB, BC și CD, exprimate în centimetri, sunt trei numere naturale consecutive, iar punctul M este mijlocul segmentului AB. Lungimea segmentului MD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Cele trei lungimi sunt numere naturale consecutive, în ordine crescătoare: AB < BC < CD, iar BC = 7 cm este cel din mijloc.
Pasul 2. Deci AB = 6 cm și CD = 8 cm.
Pasul 3. M este mijlocul lui AB, deci MB = 6 : 2 = 3 cm.
Pasul 4. Punctele M, B, C, D sunt în această ordine pe dreaptă, deci MD = MB + BC + CD = 3 + 7 + 8 = 18 cm.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 18 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele a și b. Punctele A și E aparțin dreptei a, iar punctele B și C aparțin dreptei b. Dreapta CD este perpendiculară pe dreapta AB, punctul D aparține segmentului AB, iar măsura unghiului DAE este egală cu 67°. Măsura unghiului DCB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Dreptele a și b sunt paralele, iar AB este secantă. Unghiurile ∡DAE (în A) și ∡ABC (în B) sunt alterne interne, deci congruente: ∡ABC = ∡DAE = 67°.
Pasul 2. Punctul D se află pe segmentul AB, deci ∡DBC = ∡ABC = 67°.
Pasul 3. CD ⊥ AB, deci triunghiul CDB este dreptunghic în D (∡CDB = 90°).
Pasul 4. În triunghiul CDB: ∡DCB = 180° − 90° − 67° = 23° (unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare).
Pasul 5. Răspuns corect: a) 23°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu măsura unghiului C egală cu 75°. Punctul E aparține semidreptei AC astfel încât semidreapta BC este bisectoarea unghiului ABE. Măsura unghiului BEC este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul ABC, dreptunghic în A: ∡ABC = 90° − ∡C = 90° − 75° = 15°.
Pasul 2. BC este bisectoarea unghiului ABE, deci ∡ABE = 2 · ∡ABC = 2 · 15° = 30°.
Pasul 3. Punctele A, C, E sunt coliniare (E este pe semidreapta AC), deci triunghiul ABE este dreptunghic în A, iar ∡BEC = ∡BEA.
4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCD, cu AC = 20 cm și O punctul de intersecție a dreptelor AC și BD. Măsura unghiului AOB este egală cu 30°. Aria dreptunghiului ABCD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente și se înjumătățesc: AC = BD = 20 cm, iar OA = OB = 10 cm.
Pasul 2. Triunghiul AOB are OA = OB = 10 cm și ∡AOB = 30°. Aria lui: OA · OB · sin 30°2 = 10 · 10 · 122 = 25 cm2.
Pasul 3. Cele patru triunghiuri formate de diagonale (AOB, BOC, COD, DOA) au aceeași arie, deci aria dreptunghiului = 4 · 25 = 100 cm2.
Pasul 4. (Altfel: aria = AC · BD · sin 30°2 = 20 · 20 · 122 = 100 cm2.)
Pasul 5. Pentru elevii care nu folosesc sinusul: ducem înălțimea din A pe BD; în triunghiul dreptunghic format cu OA = 10 și un unghi de 30°, înălțimea este 10 : 2 = 5 cm, deci aria AOB = (10 · 5) : 2 = 25 cm2.
Pasul 6. Răspuns corect: c) 100 cm2.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O. Diametrul DB are lungimea egală cu 50 cm. Coarda AC are lungimea egală cu 30 cm și este perpendiculară pe diametrul BD. Dacă E este punctul de intersecție a dreptelor AC și BD, atunci lungimea segmentului OE este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Raza cercului este OA = 50 : 2 = 25 cm.
Pasul 2. Diametrul BD este perpendicular pe coarda AC, deci o împarte în două părți egale: AE = EC = 30 : 2 = 15 cm.
Pasul 3. Triunghiul OEA este dreptunghic în E. Cu teorema lui Pitagora: OE2 = OA2 − AE2 = 252 − 152 = 625 − 225 = 400.
Pasul 4. OE = √400 = 20 cm.
Pasul 5. (Se recunoaște triunghiul cu laturile 15, 20, 25 — de forma 5 · (3, 4, 5).)
Pasul 6. Răspuns corect: a) 20 cm.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu înălțimea VO = 8 cm și secțiunea axială triunghiul VAB, cu VA = 10 cm. Volumul conului este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. VO este înălțimea conului, VA = 10 cm este generatoarea, iar OA este raza bazei.
Pasul 2. Triunghiul VOA este dreptunghic în O. Cu teorema lui Pitagora: OA2 = VA2 − VO2 = 100 − 64 = 36, deci raza este R = 6 cm.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
