1. Sfertul numărului 24 este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. 24 = 16.
- Pasul 2. Sfertul unui număr este a patra parte din el, adică numărul împărțit la 4: 16 : 4 = 4.
- Pasul 3. (Altfel: 24 : 4 = 24 : 22 = 22 = 4.)
- Pasul 4. Răspuns corect: b) 4.
SUBIECTUL I
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
2. Cel mai mic element al mulțimii A = {x ∈ ℤ | −2024 < x ≤ 10} este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Elementele lui A sunt numere întregi strict mai mari decât −2024 și mai mici sau egale cu 10.
- Pasul 2. −2024 nu aparține lui A (inegalitatea este strictă), deci cel mai mic întreg mai mare decât −2024 este −2023.
- Pasul 3. Răspuns corect: b) −2023.
3. Dacă a3 = b4, atunci 8a − 6b este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Din a3 = b4 obținem 4a = 3b (produsul mezilor egal cu produsul extremilor).
- Pasul 2. Înmulțim cu 2: 8a = 6b.
- Pasul 3. Deci 8a − 6b = 0.
- Pasul 4. (Verificare: a = 3, b = 4 ⇒ 24 − 24 = 0.)
- Pasul 5. Răspuns corect: c) 0.
4. Se consideră numerele a = 2 − √3 și b = 2 + √3. Media aritmetică a numerelor a, b și 8 este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. a + b = (2 − √3) + (2 + √3) = 4 (radicalii se reduc).
- Pasul 2. Suma celor trei numere: a + b + 8 = 4 + 8 = 12.
- Pasul 3. Media aritmetică = 12 : 3 = 4.
- Pasul 4. Răspuns corect: d) 4.
5. Un obiect costă 200 lei. Afirmația: „După o scumpire de 15% prețul obiectului va fi 215 lei.” este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. 15% din 200 lei = 15 · 200 : 100 = 30 lei.
- Pasul 2. Prețul după scumpire: 200 + 30 = 230 lei.
- Pasul 3. Cum 230 ≠ 215, afirmația este falsă.
- Pasul 4. (215 lei ar însemna o scumpire de 15 lei, adică 7,5%.)
- Pasul 5. Răspuns corect: b) falsă.
6. În tabelul de mai jos sunt temperaturile medii înregistrate pe parcursul unei săptămâni:
Temperatura medie în acea săptămână a fost de:
| Ziua | Temperatura medie |
| Luni | −3°C |
| Marți | −2°C |
| Miercuri | −1°C |
| Joi | 1°C |
| Vineri | 2°C |
| Sâmbătă | −1°C |
| Duminică | −3°C |
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Temperatura medie a săptămânii este media aritmetică a celor 7 temperaturi zilnice.
- Pasul 2. Suma: (−3) + (−2) + (−1) + 1 + 2 + (−1) + (−3) = −7.
- Pasul 3. (Perechile (−1) + 1 și (−2) + 2 se reduc, rămâne −3 − 1 − 3 = −7.)
- Pasul 4. Media: (−7) : 7 = −1°C.
- Pasul 5. (−7°C este suma temperaturilor, nu media lor.)
- Pasul 6. Răspuns corect: b) −1°C.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. În figura alăturată punctele A, B, C și D sunt coliniare, în această ordine, C este mijlocul segmentului AD și AB = 3 · BC. Dacă lungimea segmentului AD este egală cu 16 cm, atunci lungimea segmentului BC este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. C este mijlocul lui AD, deci AC = AD : 2 = 16 : 2 = 8 cm.
- Pasul 2. Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci AC = AB + BC.
- Pasul 3. AB = 3 · BC, deci AC = 3 · BC + BC = 4 · BC.
- Pasul 4. 4 · BC = 8, deci BC = 8 : 4 = 2 cm.
- Pasul 5. (Verificare: AB = 3 · 2 = 6 cm, AC = 6 + 2 = 8 cm, CD = 8 cm, AD = 16 cm.)
- Pasul 6. Răspuns corect: b) 2 cm.
2. În figura alăturată, punctele A, O, B sunt coliniare, în această ordine, iar măsura unghiului COD este egală cu 100°. Măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOC și BOD este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∡AOB = 180° și ∡AOC + ∡COD + ∡DOB = 180°.
- Pasul 2. Cu ∡COD = 100°: ∡AOC + ∡DOB = 180° − 100° = 80°.
- Pasul 3. Fie OM bisectoarea unghiului AOC și ON bisectoarea unghiului BOD: ∡COM = ∡AOC : 2 și ∡DON = ∡DOB : 2.
- Pasul 4. Unghiul format de bisectoare este ∡MON = ∡MOC + ∡COD + ∡DON = (∡AOC + ∡DOB) : 2 + 100° = 80° : 2 + 100° = 40° + 100° = 140°.
- Pasul 5. (Rezultatul nu depinde de felul în care cei 80° se împart între cele două unghiuri.)
- Pasul 6. Răspuns corect: c) 140°.
3. Pătratul ABCD are lungimea diagonalei AC egală cu 6 cm. Perimetrul pătratului ABCD este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Notăm cu l latura pătratului. În triunghiul dreptunghic isoscel ABC (dreptunghic în B), ipotenuza este diagonala AC.
- Pasul 2. Pitagora: AC2 = l2 + l2 = 2l2, deci 36 = 2l2 și l2 = 18.
- Pasul 3. l = √18 = 3√2 cm.
- Pasul 4. Perimetrul = 4 · 3√2 = 12√2 cm.
- Pasul 5. (Altfel: diagonala unui pătrat de latură l este l√2, deci l = 6√2 = 3√2.)
- Pasul 6. Răspuns corect: c) 12√2 cm.
4. Triunghiul ABC are perimetrul egal cu 40 cm. Fie M și N mijloacele laturilor AB, respectiv AC, iar punctul D este proiecția punctului A pe dreapta BC. Perimetrul triunghiului MND este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. MN este linie mijlocie în triunghiul ABC, deci MN = BC : 2.
- Pasul 2. AD ⊥ BC, deci triunghiurile ABD și ACD sunt dreptunghice în D, cu ipotenuzele AB și AC.
- Pasul 3. DM este mediană corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul ABD (M este mijlocul lui AB), deci DM = AB : 2. Analog, DN = AC : 2.
- Pasul 4. Perimetrul MND = MN + DN + DM = BC : 2 + AC : 2 + AB : 2 = (AB + BC + AC) : 2 = 40 : 2 = 20 cm.
- Pasul 5. Răspuns corect: a) 20 cm.
5. Fie AB diametru în cercul de centru O și rază de lungime egală cu 5 cm. Dacă CD ⊥ AB și lungimea segmentului AC este egală cu 8 cm, atunci aria patrulaterului ACBD este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. AB = 2 · 5 = 10 cm. Unghiul ACB este înscris într-un semicerc, deci ∡ACB = 90°.
- Pasul 2. Pitagora în triunghiul ABC: BC2 = AB2 − AC2 = 100 − 64 = 36, deci BC = 6 cm.
- Pasul 3. Aria triunghiului ABC = (AC · BC) : 2 = (8 · 6) : 2 = 24 cm2.
- Pasul 4. Diametrul AB perpendicular pe coarda CD este mediatoarea ei, deci D este simetricul lui C față de AB și triunghiul ABD este congruent cu ABC: aria ABD = 24 cm2.
- Pasul 5. Aria ACBD = 24 + 24 = 48 cm2.
- Pasul 6. (Verificare: înălțimea din C pe AB este 8 · 6 : 10 = 4,8 cm, deci CD = 9,6 cm și aria = AB · CD : 2 = 10 · 9,6 : 2 = 48 cm2.)
- Pasul 7. Răspuns corect: d) 48 cm2.
6. Aria bazei unui tetraedru regulat este egală cu 9√3 cm2. Suma lungimilor muchiilor laterale este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Într-un tetraedru regulat toate muchiile sunt egale; notăm lungimea lor cu l. Baza este un triunghi echilateral de latură l.
- Pasul 2. Aria unui triunghi echilateral este l2√34. Deci l2√34 = 9√3.
- Pasul 3. l2 = 36, deci l = 6 cm.
- Pasul 4. Muchiile laterale sunt 3 (cele care pornesc din vârf), fiecare de 6 cm: 3 · 6 = 18 cm.
- Pasul 5. Răspuns corect: d) 18 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.