Pasul 4. Media calculată coincide cu cea spusă de Maria, deci afirmația este adevărată.
Pasul 5. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată este reprezentat punctul A(1; 2) într-un sistem de axe ortogonale XOY. Coordonatele simetricului punctului A față de axa OY sunt:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Simetria față de axa OY (axa ordonatelor) păstrează ordonata (y) și schimbă semnul abscisei (x).
Pasul 2. Pentru A(1; 2) obținem simetricul (−1; 2).
Pasul 3. Verificare: punctele (1; 2) și (−1; 2) sunt la aceeași distanță de axa OY, de părți diferite ale ei, la aceeași înălțime 2.
Pasul 4. Răspuns corect: b) (−1; 2).
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, dreptele AB și CD sunt paralele. Măsura unghiului BAD este de 71°, iar măsura unghiului BCD este de 36°. Știind că segmentele AD și BC se intersectează în O, atunci măsura unghiului AOB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Dreptele AB și CD sunt paralele, iar BC este secantă: unghiurile alterne interne ∡ABC și ∡BCD sunt congruente, deci ∡ABO = ∡BCD = 36°.
Pasul 2. În triunghiul AOB avem ∡OAB = ∡BAD = 71° și ∡ABO = 36°.
Pasul 3. Suma unghiurilor unui triunghi este 180°: ∡AOB = 180° − 71° − 36° = 73°.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 73°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, iar punctele A, C, M sunt coliniare astfel încât CM = AB = 6 cm. Lungimea segmentului BM este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABC este echilateral, deci AB = BC = AC = 6 cm și toate unghiurile au 60°.
Pasul 2. Punctele A, C, M sunt coliniare (în această ordine), deci AM = AC + CM = 6 + 6 = 12 cm.
Pasul 3. Triunghiul BCM este isoscel (CB = CM = 6), iar ∡BCM = 180° − 60° = 120° (unghi adiacent suplimentar cu ∡BCA). Deci ∡CBM = ∡CMB = (180° − 120°) : 2 = 30°.
Pasul 4. Atunci ∡ABM = ∡ABC + ∡CBM = 60° + 30° = 90°: triunghiul ABM este dreptunghic în B.
Pasul 5. Teorema lui Pitagora în triunghiul ABM: BM2 = AM2 − AB2 = 122 − 62 = 144 − 36 = 108, deci BM = √108 = 6√3 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: d) 6√3 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD cu AB = 8 cm. Punctul E este situat pe latura BC astfel încât CEBE = 13. Aria patrulaterului ADCE este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.BC = 8 cm și CE : BE = 1 : 3, deci BC se împarte în 1 + 3 = 4 părți egale, fiecare de 8 : 4 = 2 cm. Rezultă CE = 2 cm și BE = 6 cm.
Pasul 2. Aria pătratului este 8 · 8 = 64 cm2.
Pasul 3. Segmentul AE împarte pătratul în triunghiul dreptunghic ABE și patrulaterul ADCE. Aria triunghiului ABE = AB · BE2 = 8 · 62 = 24 cm2.
Pasul 5. Verificare (trapez dreptunghic ADCE cu bazele AD = 8, CE = 2 și înălțimea DC = 8): (8 + 2) · 82 = 40 cm2 ✓.
Pasul 6. Răspuns corect: c) 40 cm2.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul O și raza egală cu 3 cm, iar punctul P este situat la distanța de 6 cm față de centrul cercului. Dacă dreptele PA și PB sunt tangente la cerc în punctele A, respectiv B, atunci măsura arcului mic AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Tangenta este perpendiculară pe rază în punctul de tangență: OA ⊥ PA, deci triunghiul OAP este dreptunghic în A, cu OA = 3 cm și ipotenuza OP = 6 cm.
Pasul 2. Cateta OA este jumătate din ipotenuză, deci ∡OPA = 30° (iar ∡AOP = 60°).
Pasul 5. Măsura arcului mic AB este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător, adică 120°.
Pasul 6. Răspuns corect: c) 120°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentată o prismă triunghiulară regulată ABCDEF cu AB = AD. Măsura unghiului determinat de dreptele AD și BF este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Prisma este dreaptă (fețele laterale sunt dreptunghiuri), deci muchiile laterale sunt paralele: AD ∥ BE.
Pasul 2. Unghiul dreptelor AD și BF este egal cu unghiul dreptelor BE și BF, adică ∡EBF (paralela BE la AD trece prin B).
Pasul 3. Baza este triunghi echilateral de latură AB, deci EF = AB; din AB = AD = BE rezultă BE = EF.
Pasul 4. Muchia BE este perpendiculară pe planul bazei (DEF), deci BE ⊥ EF: triunghiul BEF este dreptunghic în E și isoscel (BE = EF).
Pasul 5. Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic isoscel au 45°: ∡EBF = 45°.
Pasul 6. Răspuns corect: b) 45°.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.