1. Rezultatul calculului −15 + 72 : 7 este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Ordinea operațiilor: puterea, apoi împărțirea, apoi adunarea.
- Pasul 2. 72 = 49, iar 49 : 7 = 7.
- Pasul 3. −15 + 7 = −8.
- Pasul 4. Răspuns corect: c) −8.
SUBIECTUL I
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
2. Secvența care conține doar pătrate perfecte este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. 49 = 72, 100 = 102, 289 = 172: toate sunt pătrate perfecte.
- Pasul 2. La b): 194 nu este pătrat perfect (132 = 169, 142 = 196). La c): −81 este negativ, deci nu este pătrat perfect. La d): 8, 27, 125 sunt cuburi perfecte, nu pătrate.
- Pasul 3. Răspuns corect: a) (49, 100, 289).
3. Suma soluțiilor numere naturale ale inecuației 3x − 1 ≤ 8 este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. 3x − 1 ≤ 8 ⇒ 3x ≤ 9 ⇒ x ≤ 3.
- Pasul 2. Numerele naturale care verifică inecuația: 0, 1, 2, 3.
- Pasul 3. Suma lor: 0 + 1 + 2 + 3 = 6.
- Pasul 4. Răspuns corect: b) 6.
4. Numărul −3√3 aparține intervalului:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. −3√3 = −√27. Deoarece 25 < 27 < 32, rezultă −4√2 < −3√3 < −5.
- Pasul 2. Prin urmare, numărul aparține intervalului [−4√2; −5].
- Pasul 3. În b), numărul coincide cu limita inferioară exclusă. În c), este mai mic decât −4. În d), este mai mare decât limita superioară −5√2.
- Pasul 4. Răspuns corect: a) [−4√2; −5].
5. Patru elevi descompun expresia x3 + x2 − 9x − 9 în factori ireductibili și obțin rezultate diferite:
Rezultatul corect este dat de:
| Elev | Descompunerea obținută |
|---|---|
| Anita | x(x2 + x − 9) − 9 |
| Bogdan | (x + 1)(x − 3)(x + 3) |
| Corina | (x2 + 3)(x − 3) |
| Dan | (x + 1)(x − 1)(x + 9) |
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Grupăm termenii: x3 + x2 − 9x − 9 = x2(x + 1) − 9(x + 1).
- Pasul 2. Dăm factor comun (x + 1): (x + 1)(x2 − 9).
- Pasul 3. Diferența de pătrate: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).
- Pasul 4. Descompunerea completă: (x + 1)(x − 3)(x + 3), obținută de Bogdan.
- Pasul 5. Anita nu a obținut un produs de factori, Corina are (x2 + 3)(x − 3) = x3 − 3x2 + 3x − 9 (altă expresie), iar Dan a greșit (x + 1)(x − 1)(x + 9) = x3 + 9x2 − x − 9.
- Pasul 6. Răspuns corect: b) Bogdan.
6. Mihaela afirmă că numărul elementelor mulțimii A = {x | x ∈ ℤ, x | 75} este 6. Afirmația Mihaelei este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. x | 75 înseamnă că x este divizor al lui 75, iar x este număr întreg, deci se iau și divizorii negativi.
- Pasul 2. Divizorii naturali ai lui 75 = 3 · 52: 1, 3, 5, 15, 25, 75 (șase divizori; (1 + 1)(2 + 1) = 6).
- Pasul 3. Fiecare are și un opus negativ: −1, −3, −5, −15, −25, −75.
- Pasul 4. Deci A are 12 elemente, nu 6.
- Pasul 5. Afirmația Mihaelei este falsă.
- Pasul 6. Răspuns corect: b) Falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. În figura alăturată sunt reprezentate, în această ordine, punctele coliniare A, M, T, N, B. Punctul T este mijlocul segmentului MN, AM = NB = 3 cm și AB = 22 cm. Lungimea segmentului BT este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. MN = AB − AM − NB = 22 − 3 − 3 = 16 cm.
- Pasul 2. T este mijlocul lui MN: TN = 16 : 2 = 8 cm.
- Pasul 3. BT = TN + NB = 8 + 3 = 11 cm.
- Pasul 4. Transformăm în dm: 11 cm = 1,1 dm (10 cm = 1 dm).
- Pasul 5. Răspuns corect: b) 1,1 dm.
2. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC înscris într-un cerc. Dacă ∡A = 30° și ∡B = 80°, atunci măsura arcului mic AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Suma unghiurilor triunghiului: ∡C = 180° − 30° − 80° = 70°.
- Pasul 2. ∡C este unghi înscris în cerc care subîntinde arcul AB; măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului: ∡C = arc AB2.
- Pasul 3. Arcul AB = 2 · 70° = 140°.
- Pasul 4. (Verificare: arcele BC = 2 · 30° = 60°, CA = 2 · 80° = 160°, iar 140° + 60° + 160° = 360° ✓; arcul AB de 140° este mai mic de 180°, deci este arcul mic.)
- Pasul 5. Răspuns corect: b) 140°.
3. În figura alăturată punctele A, O, B sunt coliniare, ∡BOM = 120°, iar ON este bisectoarea unghiului AOM. Atunci măsura unghiului ∡BON este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. A, O, B sunt coliniare, deci ∡AOM și ∡BOM sunt suplimentare: ∡AOM = 180° − 120° = 60°.
- Pasul 2. ON este bisectoarea lui ∡AOM: ∡MON = ∡AON = 60° : 2 = 30°.
- Pasul 3. Semidreapta OM este în interiorul unghiului ∡BON (vezi figura), deci ∡BON = ∡BOM + ∡MON = 120° + 30° = 150°.
- Pasul 4. (Altfel: ∡BON = 180° − ∡AON = 180° − 30° = 150°, fiindcă A, O, B sunt coliniare.)
- Pasul 5. Răspuns corect: c) 150°.
4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABD dreptunghic în A, AC ⊥ BD, C ∈ BD. Dacă DC = 9 cm și BD = 25 cm, atunci distanța de la A la BD este de:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Distanța de la A la dreapta BD este lungimea perpendicularei AC.
- Pasul 2. CB = BD − DC = 25 − 9 = 16 cm.
- Pasul 3. În triunghiul dreptunghic ABD, AC este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei: teorema înălțimii dă AC2 = DC · CB = 9 · 16 = 144.
- Pasul 4. AC = √144 = 12 cm.
- Pasul 5. (Verificare: AD2 = DC · DB = 9 · 25 = 225, AD = 15; 152 − 92 = 144 ✓.)
- Pasul 6. Răspuns corect: c) 12 cm. (Variantele a) 15 cm este AD, iar d) 16 cm este CB.)
5. În figura alăturată este reprezentat un trapez ABCD, cu bazele de 4 cm, respectiv 12 cm, iar diagonalele AC și BD se intersectează în punctul O. Raportul dintre aria triunghiului DOC și aria triunghiului AOB este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Bazele trapezului sunt DC = 4 cm și AB = 12 cm, paralele.
- Pasul 2. Triunghiurile DOC și BOA sunt asemenea (unghiuri alterne interne congruente și unghiuri opuse la vârf), cu raportul de asemănare DCAB = 412 = 13.
- Pasul 3. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului de asemănare: aria DOCaria AOB = (13)2 = 19.
- Pasul 4. Răspuns corect: d) 19.
6. ABCDA′B′C′D′ este o prismă patrulateră regulată cu AB = 6√2 cm și AA′ = 9 cm. Lungimea diagonalei BD′ este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Baza ABCD este pătrat cu latura 6√2 cm, deci diagonala bazei BD = 6√2 · √2 = 12 cm.
- Pasul 2. Triunghiul BDD′ este dreptunghic în D (muchia DD′ este perpendiculară pe planul bazei) cu catetele BD = 12 cm și DD′ = 9 cm.
- Pasul 3. Pitagora: BD′2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225.
- Pasul 4. BD′ = √225 = 15 cm.
- Pasul 5. Răspuns corect: a) 15 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.