Pasul 2. Intervalul (√12, √13) este deschis: capetele √12 și √13 nu fac parte din el.
Pasul 3. Numărul 2√3 este chiar √12, adică exact capătul din stânga al intervalului, deci nu aparține intervalului.
Pasul 4. Afirmația este falsă.
Pasul 5. Răspuns corect: b) Fals.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. Valoarea lui x din figura alăturată, astfel încât dreptele a și b să fie paralele, este de:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Unghiul de 58° și unghiul de 2x + 42° sunt unghiuri exterioare aflate de aceeași parte a secantei (în stânga ei: unul deasupra dreptei a, celălalt sub dreapta b). Pentru drepte paralele, aceste unghiuri sunt suplimentare.
Pasul 2. Deci 58° + (2x + 42°) = 180°.
Pasul 3. 2x + 100° = 180°, adică 2x = 80° și x = 40°.
Pasul 4. Verificare: 2 · 40° + 42° = 122°, iar 58° + 122° = 180° ✓. (Unghiul de 122° este obtuz, ca în figură.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) 40°.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată, paralelogramul ABCD reprezintă o suprafață de teren pe care se plantează lalele. Dacă AD = 9 m, ∡ABC = 120° și AD ⊥ DB, atunci perimetrul suprafeței ABCD este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Într-un paralelogram unghiurile alăturate sunt suplimentare: ∡DAB = 180° − 120° = 60°.
Pasul 2.AD ⊥ DB, deci triunghiul ADB este dreptunghic în D, cu ∡A = 60°, deci ∡ABD = 30°.
Pasul 3. Cateta AD este opusă unghiului de 30°, deci este jumătate din ipotenuza AB: AB = 2 · 9 = 18 m.
Pasul 4. Perimetrul paralelogramului: 2 · (AB + AD) = 2 · (18 + 9) = 54 m.
Pasul 5. Răspuns corect: a) 54 m.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată, AB este coardă în cercul de centru O și rază OA = 5 cm. Dacă AB = 8 cm, atunci aria triunghiului AOB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul AOB este isoscel: OA = OB = 5 cm, cu baza AB = 8 cm.
Pasul 2. Fie M mijlocul lui AB. Înălțimea OM este și mediană: AM = 4 cm.
Pasul 3. În triunghiul dreptunghic OMA: OM2 = 52 − 42 = 25 − 16 = 9, deci OM = 3 cm (triunghi cu laturile 3, 4, 5).
4. Figura alăturată reprezintă un dreptunghi ABCD, cu lungimea AB = 12 m, iar lățimea AD = 9 m. Atunci distanța de la punctul A la diagonala BD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Diagonala BD din triunghiul dreptunghic ABD (dreptunghic în A): BD2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225, deci BD = 15 m.
Pasul 2. Distanța de la A la BD este înălțimea AH din triunghiul ABD.
Pasul 3. Aria triunghiului ABD în două moduri: AB · AD2 = BD · AH2, deci 12 · 9 = 15 · AH.
Pasul 4.AH = 108 : 15 = 7,2 m.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 7,2 m.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată, ABCD este dreptunghi, iar M și N sunt mijloacele laturilor AB, respectiv AD. Dacă AB = 18 cm și BD = 30 cm, atunci aria patrulaterului BDNM este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABD este dreptunghic în A: AD2 = BD2 − AB2 = 900 − 324 = 576, deci AD = 24 cm.
Pasul 3.AM = 18 : 2 = 9 cm și AN = 24 : 2 = 12 cm. Aria triunghiului AMN = 9 · 122 = 54 cm2.
Pasul 4. Patrulaterul BDNM este triunghiul ABD din care scoatem triunghiul AMN: 216 − 54 = 162 cm2.
Pasul 5. Răspuns corect: c) 162 cm2.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată, DE ∥ BC, atunci x + y este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Din figură: AD = x, DB = 8, AE = 6, EC = y, DE = 9, BC = 15.
Pasul 2. Cum DE ∥ BC, triunghiurile ADE și ABC sunt asemenea (teorema fundamentală a asemănării): ADAB = AEAC = DEBC = 915 = 35.
Pasul 3. Din xx + 8 = 35 obținem 5x = 3(x + 8), adică 5x = 3x + 24, deci x = 12.
Pasul 4. Din 66 + y = 35 obținem 5 · 6 = 3(6 + y), adică 30 = 3(6 + y), deci 6 + y = 10 și y = 4.
Pasul 5.x + y = 12 + 4 = 16.
Pasul 6. Răspuns corect: d) 16.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.