1. Rezultatul calculului 2024 − 2024 : 2024 este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Ordinea operațiilor: întâi împărțirea, apoi scăderea.
- Pasul 2. 2024 : 2024 = 1.
- Pasul 3. 2024 − 1 = 2023.
- Pasul 4. Răspuns corect: d) 2023.
SUBIECTUL I
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
2. Dacă numerele a și b sunt direct proporționale cu 4 și 10, iar suma lor este 70, atunci produsul numerelor a și b este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Proporționalitate directă: a4 = b10 = k, deci a = 4k și b = 10k.
- Pasul 2. Suma: 4k + 10k = 70, deci 14k = 70 și k = 5.
- Pasul 3. a = 4 · 5 = 20 și b = 10 · 5 = 50 (20 + 50 = 70 ✓).
- Pasul 4. Produsul: a · b = 20 · 50 = 1000.
- Pasul 5. Răspuns corect: a) 1000.
3. Suma numerelor întregi, divizibile cu 3, din intervalul [−9; 6) este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Intervalul [−9; 6) conține pe −9 (închis) dar nu conține pe 6 (deschis).
- Pasul 2. Multiplii întregi ai lui 3 din interval: −9, −6, −3, 0, 3 (numărul 6 nu aparține intervalului).
- Pasul 3. Suma: (−9) + (−6) + (−3) + 0 + 3 = −15.
- Pasul 4. Răspuns corect: a) −15.
4. Cel mai mic element al mulțimii A = {x ∈ ℤ | (x + 1)2 = 4} este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. (x + 1)2 = 4 înseamnă x + 1 = 2 sau x + 1 = −2.
- Pasul 2. Din x + 1 = 2 obținem x = 1; din x + 1 = −2 obținem x = −3. Ambele sunt numere întregi.
- Pasul 3. Deci A = {−3; 1}, iar cel mai mic element este −3.
- Pasul 4. Răspuns corect: c) −3.
5. Patru elevi, Iulia, Mihai, Dana și Bogdan, au calculat media geometrică a numerelor (3√2)−1 și √18. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Rezultatul corect a fost obținut de către:
| Iulia | Mihai | Dana | Bogdan |
|---|---|---|---|
| 1 | 3√2 | 6 | 0 |
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. (3√2)−1 = 13√2. Scriem √18 = √18 = 3√2.
- Pasul 2. Media geometrică a două numere pozitive a și b este √a · b.
- Pasul 3. Produsul: 13√2 · 3√2 = 1.
- Pasul 4. Media geometrică: √1 = 1.
- Pasul 5. Rezultatul 1 este cel al Iuliei.
- Pasul 6. Răspuns corect: a) Iulia.
6. Paula afirmă că: „Numărul 246 este pătrat perfect.” Afirmația Paulei este:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Pătratele perfecte apropiate de 246 sunt 152 = 225 și 162 = 256.
- Pasul 2. Deoarece 225 < 246 < 256, numărul 246 nu este pătrat perfect.
- Pasul 3. (Altfel: 246 = 2 · 3 · 41; într-un pătrat perfect toți exponenții primilor din descompunere sunt pari, aici sunt toți egali cu 1.)
- Pasul 4. Afirmația este falsă.
- Pasul 5. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
1. În figura alăturată dreapta d este mediatoarea segmentului BC, iar A ∈ d. Dacă AB = 8 cm, atunci distanța de la A la C este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului.
- Pasul 2. A se află pe mediatoarea lui BC, deci AC = AB = 8 cm.
- Pasul 3. Răspuns corect: a) 8 cm.
2. În figura alăturată unghiurile ∡AOB, ∡BOC și ∡COA sunt congruente. Dacă OM și ON sunt bisectoarele unghiurilor ∡AOB și respectiv ∡BOC, atunci măsura unghiului ∡MON este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Cele trei unghiuri sunt congruente și umplu jurul punctului O (360°): fiecare are 360° : 3 = 120°.
- Pasul 2. OM este bisectoarea lui ∡AOB: ∡MOB = 120° : 2 = 60°.
- Pasul 3. ON este bisectoarea lui ∡BOC: ∡BON = 120° : 2 = 60°.
- Pasul 4. OB este între OM și ON (vezi figura), deci ∡MON = ∡MOB + ∡BON = 60° + 60° = 120°.
- Pasul 5. Răspuns corect: c) 120°.
3. Pe cercul de centru O și raza R = 6 cm se consideră punctele A, B, C și D astfel încât AB ∥ CD, O ∈ AB și măsura arcului AD egală cu 60°. Atunci perimetrul triunghiului ADC este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. O ∈ AB și A, B sunt pe cerc, deci AB este diametru (12 cm).
- Pasul 2. Arcul AD = 60°, deci ∡AOD = 60°. Triunghiul AOD are OA = OD = 6 și unghiul de 60°, deci este echilateral: AD = 6 cm.
- Pasul 3. Fiindcă AB ∥ CD, arcele dintre ele sunt egale: arcul BC = arcul AD = 60°. Atunci arcul DC = 180° − 60° − 60° = 60°, deci și ∡DOC = 60° și DC = 6 cm (triunghi DOC echilateral).
- Pasul 4. AC: unghiul ∡ACB = 90° (înscris în semicerc), iar arcul BC = 60° dă ∡BAC = 30°. În triunghiul ABC: BC = 6 și AC = √122 − 62 = √108 = 6√3 cm.
- Pasul 5. Perimetrul: AD + DC + AC = 6 + 6 + 6√3 = 12 + 6√3 = 6(2 + √3) cm.
- Pasul 6. Răspuns corect: c) 6(2 + √3) cm.
4. În triunghiul dreptunghic isoscel ABC ipotenuza este egală cu 20 cm. Aria acestui triunghi este egală cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Triunghiul este dreptunghic isoscel, deci catetele sunt egale: AB = AC = c.
- Pasul 2. Teorema lui Pitagora: c2 + c2 = 202 = 400, deci c2 = 200.
- Pasul 3. Aria = c · c2 = 2002 = 100 cm2.
- Pasul 4. (Altfel: c = 10√2, iar aria = 10√2 · 10√22 = 100.)
- Pasul 5. Răspuns corect: b) 100 cm2.
5. În trapezul isoscel MATE se notează cu O intersecția diagonalelor. Știind că baza mică MA este 3 cm, baza mare TE este de 6 cm, iar triunghiul AOM are perimetrul egal cu 13 cm, atunci perimetrul triunghiului TOE este egal cu:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Bazele sunt paralele (MA ∥ TE), iar diagonalele sunt MT și AE, care se taie în O.
- Pasul 2. Triunghiurile AOM și EOT sunt asemenea (unghiuri alterne interne congruente și unghiuri opuse la vârf), cu raportul de asemănare TEMA = 63 = 2.
- Pasul 3. Perimetrele a două triunghiuri asemenea sunt în același raport: perimetrul TOE = 2 · perimetrul AOM = 2 · 13 = 26 cm.
- Pasul 4. (Direct: OT = 2 · OM, OE = 2 · OA, TE = 2 · MA.)
- Pasul 5. Răspuns corect: d) 26 cm.
6. Fie cubul ABCDA′B′C′D′. Unghiul dintre dreptele A′D și BC′ are măsura de:
Vezi rezolvarea
- Pasul 1. Pe figură, fața din față este ABB′A′, iar fața din spate este DCC′D′. Muchiile AD, BC, A′D′, B′C′ sunt paralele.
- Pasul 2. Muchiile A′B′ și DC sunt paralele și egale (ambele paralele și egale cu AB), deci A′B′CD este paralelogram; atunci laturile opuse A′D și B′C sunt paralele.
- Pasul 3. Prin urmare unghiul dintre A′D și BC′ este egal cu unghiul dintre B′C și BC′.
- Pasul 4. B′C și BC′ sunt diagonalele pătratului BCC′B′ (fața laterală), iar diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare.
- Pasul 5. Unghiul căutat este de 90°.
- Pasul 6. Răspuns corect: c) 90°.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.