5. Patru elevi au calculat media aritmetică a numerelor x = 3√3 − 4 și y = 5√3 + 4, apoi valorile obținute le-au trecut în tabelul de mai jos:
Ingrid
4√6
Ion
4√3 − 4
Elena
2√3
Emil
4√3
Elevul care a calculat corect media aritmetică este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Media aritmetică a numerelor x și y este x + y2.
Pasul 2.x + y = (3√3 − 4) + (5√3 + 4) = 8√3 (−4 și +4 se reduc).
Pasul 3. Media = 8√32 = 4√3.
Pasul 4. Valoarea 4√3 apare în dreptul lui Emil.
Pasul 5. Răspuns corect: d) Emil.
5pExercițiul 6
6. Un creion și un stilou costă 7 lei. Stiloul este cu 3 lei mai scump decât creionul. Maria afirmă că prețul unui creion este de 2 lei. Afirmația Mariei este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm cu c prețul creionului. Atunci stiloul costă c + 3 lei.
Pasul 2. Împreună costă 7 lei: c + (c + 3) = 7, deci 2c + 3 = 7 și 2c = 4, adică c = 2 lei.
Pasul 4. Prețul creionului este într-adevăr 2 lei, deci afirmația Mariei este adevărată.
Pasul 5. Răspuns corect: a) adevărată.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată lungimea segmentului AB este de 6 cm și lungimea segmentului BF este de 4 cm. Dacă punctele E și F sunt mijloacele segmentelor AB și BC, atunci lungimea segmentului EC este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.F este mijlocul lui BC, deci BC = 2 · BF = 2 · 4 = 8 cm.
Pasul 2.E este mijlocul lui AB, deci EB = AB : 2 = 6 : 2 = 3 cm.
Pasul 3. Punctele E, B, C sunt coliniare în această ordine: EC = EB + BC = 3 + 8 = 11 cm.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 11 cm. (Figura nu este desenată la scară.)
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată ∡AOB, ∡BOC, ∡COD și ∡DOA sunt unghiuri în jurul unui punct. Valoarea lui x este:
3. Se dă triunghiul ABC dreptunghic în A, în care ∡C = 30°. Bisectoarea unghiului B intersectează latura AC în D (figura de mai jos). Dacă lungimea segmentului DC este de 8 cm, atunci distanța punctului A la dreapta BC este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. În triunghiul dreptunghic ABC: ∡B = 90° − 30° = 60°. Bisectoarea îl împarte în două unghiuri de 30°: ∡ABD = ∡DBC = 30°.
Pasul 2. Triunghiul DBC are ∡DBC = ∡DCB = 30°, deci este isoscel: BD = DC = 8 cm.
Pasul 3. În triunghiul dreptunghic ABD unghiul ∡ABD = 30°, deci cateta opusă AD este jumătate din ipotenuza BD: AD = 4 cm. Atunci AC = AD + DC = 4 + 8 = 12 cm.
Pasul 4. În triunghiul ABC, cateta AB este opusă unghiului de 30°, deci AB = BC : 2. Din Pitagora: BC2 = AB2 + 122, adică 4AB2 = AB2 + 144, de unde AB2 = 48, AB = 4√3 cm și BC = 8√3 cm.
Pasul 5. Distanța de la A la BC este înălțimea AM din triunghiul dreptunghic ABC. Aria se calculează în două moduri: AM · BC = AB · AC, deci AM = 4√3 · 128√3 = 6 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: c) 6 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată paralelogramul ABCD are lungimea diagonalei AC de 12 cm. Punctul E este mijlocul laturii AB, iar segmentele DE și AC se intersectează în punctul F. Lungimea segmentului AF este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Latura AB este paralelă cu CD și AE = AB : 2 = CD : 2 (într-un paralelogram AB = CD).
Pasul 2. Triunghiurile AFE și CFD sunt asemenea (unghiuri alterne interne congruente, AE ∥ CD): AFCF = AECD = 12.
Pasul 3. Deci CF = 2 · AF, iar AF + CF = AC = 12 cm. Rezultă 3 · AF = 12 și AF = 4 cm.
Pasul 4. (Altfel: F este centrul de greutate al triunghiului ABD, unde AO = 6 cm este mediană și AF = 23 · 6 = 4 cm.)
Pasul 5. Răspuns corect: b) 4 cm.
5pExercițiul 5
5. În cercul cu centrul în punctul O și de rază R din figura alăturată, lungimea coardei AB este de 8 cm, iar arcul mic AB are 90°. Distanța punctului O la coarda AB este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Arcul mic AB are 90°, deci unghiul la centru ∡AOB = 90°.
Pasul 2. Triunghiul AOB este dreptunghic isoscel (OA = OB = R), cu ipotenuza AB = 8 cm.
Pasul 3. Distanța de la O la coardă este înălțimea OM din O pe ipotenuza AB; în triunghiul dreptunghic isoscel înălțimea este și mediană, iar mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ea.
Pasul 4.OM = AB : 2 = 8 : 2 = 4 cm.
Pasul 5. Verificare: R = 8 : √2 = 4√2 cm, iar OM = R · √2 : 2 = 4√2 · √2 : 2 = 4 cm ✓.
Pasul 6. Răspuns corect: c) 4 cm.
5pExercițiul 6
6. Prisma ABCDA′B′C′D′ din figura alăturată este o prismă patrulateră regulată, în care AB = 5 cm și CC′ = 11 cm. Lungimea diagonalei prismei este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Prisma patrulateră regulată are baza pătrat de latură 5 cm și înălțimea 11 cm.
Pasul 2. Diagonala bazei: AC = 5√2 cm, deci AC2 = 50.
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.