Pasul 3. Această ordine este scrisă la varianta a).
Pasul 4. Răspuns corect: a).
5pExercițiul 5
5. Patru elevi calculează media aritmetică a numerelor x = (√1613 − 4√3) · 2√3 și y = (42√5 + 85√5) : 1√125 și obțin rezultatele înregistrate în tabelul următor:
Aurel
David
Cosmin
Dragoș
24
18
6
12
Dintre cei patru copii, cel care a calculat corect este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Pentru x: 1613 = 493, deci √493 = 7√3. Atunci 7√3 − 4√3 = 3√3 = √3.
Pasul 2.x = √3 · 2√3 = 2 · 3 = 6.
Pasul 3. Pentru y: 42√5 = 2√5 = 105√5, deci suma din paranteză este 105√5 + 85√5 = 185√5.
Pasul 4.√125 = 5√5, iar împărțirea la 15√5 înseamnă înmulțire cu 5√5: y = 185√5 · 5√5 = 18.
Pasul 5. Media aritmetică = (6 + 18) : 2 = 12.
Pasul 6. Răspuns corect: d) Dragoș.
5pExercițiul 6
6. Alexandra are 15 lei, iar Andreea are cu 3 lei mai mult decât Alexandra. Andrei are 13 din suma pe care o au cele două fete împreună. Afirmația: „Andrei are 6 lei.” este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Andreea are 15 + 3 = 18 lei.
Pasul 2. Împreună, cele două fete au 15 + 18 = 33 lei.
Pasul 3. Andrei are 13 din 33 lei: 33 : 3 = 11 lei.
Pasul 4. Andrei are 11 lei, nu 6 lei, deci afirmația este falsă.
Pasul 5. Răspuns corect: b) Falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. În figura alăturată, punctele A, B, C și D, în această ordine, sunt coliniare. Dacă punctul C este simetricul punctului A față de punctul B, iar punctul D este simetricul punctului A față de punctul C și AD = 16 cm, atunci lungimea segmentului BD este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.D este simetricul lui A față de C, deci C este mijlocul lui AD: AC = CD = 16 : 2 = 8 cm.
Pasul 2.C este simetricul lui A față de B, deci B este mijlocul lui AC: AB = BC = 8 : 2 = 4 cm.
Pasul 3.BD = BC + CD = 4 + 8 = 12 cm. (Sau BD = AD − AB = 16 − 4 = 12 cm.)
Pasul 4. Răspuns corect: d) 12 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată semidreapta OX este bisectoarea unghiului ∡AOC. Dacă ∡AOC = 30° și ∡BOC = 64°, atunci ∡BOX are măsura egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.OX este bisectoarea unghiului ∡AOC, deci ∡COX = ∡XOA = 30° : 2 = 15°.
Pasul 2. Semidreapta OX se află în interiorul unghiului ∡BOC (ordinea semidreptelor în figură: OC, OX, OA, OB), deci ∡BOX = ∡BOC − ∡COX.
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu AB = AC și BC = 16 cm. Punctul M este mijlocul segmentului BC și AM = 6 cm. Perimetrul triunghiului ABC este egal cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABC este isoscel cu baza BC, iar M este mijlocul bazei: mediana AM este și înălțime, deci AM ⊥ BC.
Pasul 2.BM = BC : 2 = 8 cm.
Pasul 3. În triunghiul dreptunghic ABM: AB2 = AM2 + BM2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100, deci AB = 10 cm (triunghi cu laturile 6, 8, 10).
Pasul 4.AC = AB = 10 cm.
Pasul 5. Perimetrul: AB + AC + BC = 10 + 10 + 16 = 36 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: a) 36 cm.
5pExercițiul 4
4. Fie trapezul dreptunghic ABCD, cu AB ∥ CD, AB > CD, ∡A = 90°. Se știe că ∡CAB = 60°, AC ⊥ BC și CD = 3 cm. Atunci lungimea segmentului AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.CD ∥ AB cu secanta AC: unghiurile alterne interne sunt congruente, deci ∡DCA = ∡CAB = 60°.
Pasul 2. În triunghiul ADC, dreptunghic în D (AD ⊥ DC, pentru că ∡A = 90° și DC ∥ AB), unghiul ∡DCA = 60°, deci ∡DAC = 30°.
Pasul 3. Cateta CD este opusă unghiului de 30°, deci CD = AC : 2 și AC = 2 · 3 = 6 cm.
Pasul 4. În triunghiul ACB, dreptunghic în C (AC ⊥ BC), avem ∡CAB = 60°, deci ∡ABC = 30°. Cateta AC este opusă unghiului de 30°, deci AC = AB : 2.
Pasul 5.AB = 2 · AC = 2 · 6 = 12 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: a) 12 cm.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și ∡CBD = 45°, înscris în cerc. Suma măsurilor arcelor BC și BD este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. ∡CBD este unghi înscris în cerc și subîntinde arcul CD care nu conține punctul B. Măsura unghiului înscris este jumătate din măsura arcului: arc CD = 2 · 45° = 90°.
Pasul 2. Cercul are 360°, iar punctele B, C, D îl împart în trei arce: BC, CD și DB.
Pasul 3. arc BC + arc BD = 360° − arc CD = 360° − 90° = 270°.
Pasul 4. Răspuns corect: c) 270°.
5pExercițiul 6
6. Piramida triunghiulară regulată VABC are înălțimea VO = 4 cm și raza cercului circumscris bazei de 4√3 cm. Lungimea muchiei laterale este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Într-o piramidă regulată, piciorul înălțimii O este centrul cercului circumscris bazei, deci OA = OB = OC = 4√3 cm.
Pasul 2. Înălțimea VO este perpendiculară pe planul bazei, deci triunghiul VOA este dreptunghic în O.
Pasul 4.VA = 8 cm (iar muchiile laterale sunt toate egale).
Pasul 5. Răspuns corect: b) 8 cm.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.