2. Mihai a desenat un model format din triunghiuri albe și negre (ca în imaginea alăturată) și îi cere prietenului său, Dan, să afle ce procent din numărul total de triunghiuri albe sau negre reprezintă numărul triunghiurilor albe. Știind că Dan a calculat corect, răspunsul său a fost:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Numărăm triunghiurile pe rânduri (de sus în jos): 1, 3, 5, 7. Total: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 triunghiuri (este pătratul lui 4).
Pasul 2. Triunghiurile albe sunt cele „cu vârful în jos”, câte unul între două triunghiuri negre vecine: 0 + 1 + 2 + 3 = 6 triunghiuri albe (iar negre: 1 + 2 + 3 + 4 = 10).
Pasul 2. Încadrăm între pătrate perfecte: 49 < 60 < 64, deci √49 < √60 < √64, adică 7 < a < 8.
Pasul 3. Deci a ∈ [7; 8].
Pasul 4. Răspuns corect: c) [7; 8].
5pExercițiul 4
4. Dacă x, y ∈ ℝ și x − y = 1, atunci valoarea expresiei (x − y)(x + y) − 2y este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Înlocuim x − y = 1: expresia devine 1 · (x + y) − 2y = x + y − 2y.
Pasul 2. Reducem termenii: x + y − 2y = x − y.
Pasul 3. Dar x − y = 1.
Pasul 4. Verificare cu un exemplu: x = 4, y = 3: (4 − 3)(4 + 3) − 2 · 3 = 7 − 6 = 1 ✓.
Pasul 5. Răspuns corect: d) 1.
5pExercițiul 5
5. Patru elevi, Ana, Costi, Ina și Vlad, ordonează crescător numerele a = 14, b = 0,4, c = 0,2(3) și d = 13. Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Ana
b<d<a<c
Costi
c<a<d<b
Ina
c<a<b<d
Vlad
a<d<b<c
Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Scriem numerele ca zecimale: a = 14 = 0,25; b = 0,4; d = 13 = 0,333…; c = 0,2(3) = 0,2333…
Pasul 2. Comparăm: 0,2333… < 0,25 < 0,333… < 0,4.
Pasul 3. Ordinea crescătoare este c < a < d < b.
Pasul 4. Această ordine apare în răspunsul lui Costi.
Pasul 5. Răspuns corect: b) Costi.
5pExercițiul 6
6. Profesorul propune clasei următoarea problemă: dacă 4 veverițe vor termina rezerva de alune în 10 zile, aflați în câte zile vor termina aceeași cantitate de alune 8 veverițe. Maria rezolvă problema și afirmă că numărul de zile cerut este 20. Afirmația Mariei este: Se presupune că fiecare veveriță consumă zilnic aceeași cantitate de alune.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Mărimile sunt invers proporționale: cu cât sunt mai multe veverițe, cu atât rezerva se termină mai repede.
Pasul 2. Numărul de veverițe se dublează (de la 4 la 8), deci numărul de zile se înjumătățește: 10 : 2 = 5 zile.
Pasul 4. Maria a obținut 20 de zile (a înmulțit în loc să împartă), deci afirmația este falsă.
Pasul 5. Răspuns corect: b) falsă.
SUBIECTUL al II-lea
Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5pExercițiul 1
1. Pe o dreaptă se consideră, în ordine, punctele A, B, C și D, astfel încât AD = 15 cm, BC = 3 cm, AB = CD, iar punctul E este mijlocul segmentului CD. Calculând lungimea segmentului AE se obține:
Vezi rezolvarea
Pasul 1.AD = AB + BC + CD = 15 cm, iar AB = CD, deci 2 · AB + 3 = 15.
Pasul 2. 2 · AB = 12, deci AB = CD = 6 cm.
Pasul 3.E este mijlocul lui CD: CE = 6 : 2 = 3 cm.
Pasul 4.AE = AB + BC + CE = 6 + 3 + 3 = 12 cm.
Pasul 5. (Altfel: AE = AD − ED = 15 − 3 = 12 cm.)
Pasul 6. Răspuns corect: b) 12 cm.
5pExercițiul 2
2. În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele a și b. Punctele A și B aparțin dreptei a, iar punctele C și D aparțin dreptei b. Dreapta BE este perpendiculară pe dreapta AD, E ∈ AD, iar măsura unghiului CDE este egală cu 71°. Măsura unghiului ABE este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Dreptele a ∥ b și secanta AD: unghiurile ∡BAD și ∡CDA sunt alterne interne, deci congruente: ∡BAE = ∡CDE = 71°.
Pasul 2.BE ⊥ AD, deci triunghiul ABE este dreptunghic în E (∡AEB = 90°).
Pasul 3. În triunghiul dreptunghic ABE unghiurile ascuțite se completează la 90°: ∡ABE = 90° − 71° = 19°.
Pasul 4. Răspuns corect: b) 19°.
5pExercițiul 3
3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC cu AB = AC = 8 cm și măsura unghiului ABC egală cu 15°. Distanța de la punctul C la dreapta AB este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Triunghiul ABC este isoscel (AB = AC), deci ∡ACB = ∡ABC = 15°.
Pasul 2. Atunci ∡BAC = 180° − 15° − 15° = 150°. Unghiul obtuz are 150°, deci piciorul perpendicularei din C pe AB cade pe prelungirea laturii BA, în punctul H.
Pasul 4. În triunghiul dreptunghic CHA (dreptunghic în H), unghiul CAH are 30°, deci cateta opusă CH este jumătate din ipotenuza AC: CH = 8 : 2 = 4 cm.
Pasul 5. Distanța de la C la dreapta AB este CH = 4 cm.
Pasul 6. Răspuns corect: a) 4 cm.
5pExercițiul 4
4. În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD. Bisectoarea unghiului DAB intersectează dreptele DC și BC în punctele P, respectiv Q. Dacă AD = 4 cm și QC = 2 cm, atunci aria dreptunghiului ABCD este egală cu: Punctele B, C și Q sunt coliniare, în această ordine.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Bisectoarea unghiului drept DAB îl împarte în două unghiuri de 45°: ∡BAQ = 45°.
Pasul 2. Triunghiul ABQ este dreptunghic în B și are ∡BAQ = 45°, deci este dreptunghic isoscel: AB = BQ.
Pasul 3.BQ = BC + CQ = 4 + 2 = 6 cm (BC = AD = 4 cm, iar C se află între B și Q).
Pasul 4. Deci AB = 6 cm.
Pasul 5. Aria dreptunghiului ABCD = AB · AD = 6 · 4 = 24 cm2.
Pasul 6. Răspuns corect: d) 24 cm2.
5pExercițiul 5
5. În figura alăturată punctele A, B, C, D, E, F, G și H împart cercul în opt arce egale. Măsura unghiului ACF este egală cu: Punctele sunt așezate pe cerc în ordinea A, B, C, D, E, F, G, H.
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Cele opt arce sunt egale, deci fiecare are 360° : 8 = 45°.
Pasul 2. ∡ACF este unghi înscris în cerc; el subîntinde arcul mic AF care nu conține punctul C, adică arcul A–H–G–F.
Pasul 3. Acest arc cuprinde 3 arce de câte 45°, deci măsoară 3 · 45° = 135°.
Pasul 4. Măsura unghiului înscris este jumătate din măsura arcului: ∡ACF = 135° : 2 = 67,5°.
Pasul 5. Răspuns corect: b) 67,5°.
5pExercițiul 6
6. În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD în care VA ⊥ VC. Dacă E este mijlocul muchiei VD, iar O centrul bazei, atunci măsura unghiului dintre dreptele OE și AD este egală cu:
Vezi rezolvarea
Pasul 1. Notăm VA = VB = VC = VD = l (muchiile laterale sunt egale). Cum VA ⊥ VC, triunghiul VAC este dreptunghic isoscel și AC = l√2.
Pasul 2. Baza este pătrat cu diagonala AC = l√2, deci latura lui este l: AB = BC = CD = DA = l.
Pasul 3.O este mijlocul diagonalei BD și E este mijlocul lui VD: OE este linie mijlocie în triunghiul VBD, deci OE ∥ VB.
Pasul 4.AD ∥ BC, deci unghiul dreptelor OE și AD este egal cu unghiul dreptelor VB și BC, adică ∡VBC.
Pasul 5. Triunghiul VBC are VB = VC = l și BC = l, deci este echilateral: ∡VBC = 60°.
Pasul 6. Răspuns corect: c) 60°.
Rezultatul tău
0 / 60
puncte
0 / 12
răspunsuri corecte
Punctaj pe exerciții (5p pentru răspuns corect, 0p pentru răspuns greșit; contează doar prima încercare):
La Evaluarea Națională, Subiectele I și II valorează împreună 60 de puncte (2 × 30p); Subiectul al III-lea mai aduce 30p, iar 10p se acordă din oficiu.
